第1讲 圆锥曲线与方程（知识点串讲）（原卷版）.docx

第1讲圆锥曲线与方程（知识点串讲）

一、[体系构建]

知识整合

考点1．椭圆的定义

平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．

(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；

(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．

例1、(2019·山东日照月考)方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()

A．k4 B．k＝4

C．k4 D．0k4

考点2．与椭圆定义有关的结论

以椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2a．

(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ．

(3)S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc．

(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

例2、(2019·山东邹城模拟)已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()

A．2eq\r(3) B．6

C．4eq\r(3) D．12

[跟踪训练]

1、(2019·内蒙古呼和浩特月考)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为__________，最小值为__________．

考点3．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系

(1)P(x0，y0)在椭圆内?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＜1．

(2)P(x0，y0)在椭圆上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1．

(3)P(x0，y0)在椭圆外?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＞1．

考点4．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)

eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)

图形

性

质

范围

－a≤x≤a，－b≤y≤b

－b≤x≤b，－a≤y≤a

对称性

对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴

长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b

焦距

|F1F2|＝2c

离心率

e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)

a，b，c

的关系

c2＝a2－b2

例3、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()

A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)

C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)

[跟踪训练]

2、(2019·山东潍坊检测)已知椭圆G的中心为坐标原点O，点F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点．点O到直线BF的距离为eq\r(3)，过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是()

A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1

C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1

3、(2019·江西新余月考)椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝eq\f(3,2)|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是___________________．

考点5．对于eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)如图．

则：(1)S△PF1F2＝b2taneq\f(θ,2)．

(2)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．

(3)a－c≤|PF1|≤a＋c．

(4)过点P(x0，y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1．

例4、若F1，F2是椭圆eq\