第3讲 球与截面面积（解析版）.docx

第3讲球与截面面积

一、单选题

1．（2023·浙江宁波·统考一模）已知二面角的大小为，球与直线相切，且平面、平面截球的两个截面圆的半径分别为、，则球半径的最大可能值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设点在平面、平面内的射影点分别为、，

设球切于点，连接、、，如下图所示：

因为平面，平面，则，

由球的几何性质可知，，

因为，、平面，则平面，

同理可知，平面，

因为过点作直线的垂面，有且只有一个，所以，平面、平面重合，

因为平面，平面，则，同理可知，，

所以，、、、四点共圆，

由已知条件可知，，，

因为平面，、平面，则，，

所以，二面角的平面角为或其补角.

①当时，

由余弦定理可得

，故，

易知，为外接圆的一条弦，

所以，球半径的最大值即为外接圆的直径，即为；

②当时，

由余弦定理可得

故，

易知，为外接圆的一条弦，

所以，球半径的最大值即为外接圆的直径，即为.

综上所述，球的半径的最大可能值为.

故选：D.

2．（2023·全国·模拟预测）球缺是指一个球被平面截下的部分，截面为球缺的底面，垂直于截面的直径被截面截得的线段长为球缺的高，球缺曲面部分的面积（球冠面积）（为球的半径，为球缺的高）．已知正三棱柱的顶点都在球的表面上，球的表面积为，该正三棱柱的体积为，若的边长为整数，则球被该正三棱柱上、下底面所在平面截掉两个球缺后剩余部分的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设球的半径为，则，得．设正三棱柱的高为，底面边长为，则，（提示：根据正三棱柱和球的结构特征建立方程组）

得，则球被截掉的两个球缺的高均为1，每个球冠的面积为，又外接圆的半径为，（提示：正弦定理的应用）

故所求表面积为．

故选：D

3．（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）三棱锥的四个顶点都在表面积为的球O上，点A在平面的射影是线段的中点，，则平面被球O截得的截面面积为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

设中点为，点在平面的射影是线段的中点，

平面，，，

又，是等边三角形．

取中点为，连接交于，则是外心．

连接，在上取，使得，则为外心．

过作平面的垂线，过作平面的垂线，

两垂线的交点即为三棱锥外接球球心，

则四边形是矩形，．

连接，，设外接圆半径，设球半径为．

球的表面积为，．

在中，，

平面被球截得的截面面积．

故选：C

4．（2023上·广东广州·高三广州市白云中学校考阶段练习）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如下图，设的中心为，球O的半径为R，

连接，OD，，OE，则

，

在中，，

解得R＝2，所以，因为BE＝DE，所以，

在中，，

所以，过点E作球O的截面，

当截面与OE垂直时，截面的面积最小，

此时截面的半径为，则截面面积为，

当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π.

故选：D.

5．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形，，，，过点E作球O的截面，截面面积最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，为边长为的等边三角形，∴为正三棱锥，

取的中点，连接，则，，

平面，所以平面，平面，所以，

又，，∴，∴，又，，

平面PAC，∴平面PAC，平面PAC，

∴，∴，

∴为正方体的一部分，

可得外接球的半径为，

取的中点，连接，

可得，，所以，

过点E作球O的截面，设截面与棱的交点分别为，

当OE垂直时截面面积最小，此时即为截面圆的圆心，

截面圆半径为，截面面积为.

故选：A．

6．（2023下·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为；③过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】选项①中，如图（1）所示，找的中点，过点E，F，G做四面体ABCD的截面即为面，

则,，所以四边形为平行四边形，

找的中点,连接，因为，所以平面，

所以平面，平面，

所以，所以，

所以四边形为矩形，，，

所以截面的面积，故①正确；

选项②中，中，由勾股定理得：，

同理，过点作,则，所以由勾股定理得：，

所以，

由选项①可得：平面,

所以，，故②错误；

选项③中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得，，

所以外接球的半径，截面面积的最大值为；平面截得的面积为最小面积，