数学优化训练：直线与圆的位置关系.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

2.3.3直线与圆的位置关系

5分钟训练（预习类训练，可用于课前）

1.已知直线x=a(a〉0）和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是(）

A。5B.4C.3

解析:考查直线与圆的位置关系及平面几何知识.结合图形,可知直线x=a要与圆（x—1）2+y2=4相切,则a=3或—1，因为a＞0,所以a=3。

答案：C

2.直线l：4x—3y+5=0与圆C:x2+y2—4x-2y+m=0无公共点的条件是m属于（)

A.(—∞,0）B。(0,5）C。(1,5)D.（1,+∞）

解析：由圆心(2，1)到直线l:4x—3y+5=0的距离大于圆的半径可得.

答案:C

3。过点M（3，2）作⊙O：x2+y2+4x—2y+4=0的切线方程是____________.

解析：作图知,所求切线不可能垂直x轴,故切线斜率必定存在.设切线方程为y—2=k（x—3)，即kx-y+2—3k=0,由=1,得k=或k=0，代入即可求得。

答案:y=2或5x-12y+9=0

10分钟训练(强化类训练，可用于课中）

1。已知直线l：ax-y-b=0,圆C:x2+y2—2ax—2by=0，则l与C在同一坐标系中的图形只可能是(）

图2-3-1

解析：考查对直线与圆的方程的认识,直线与圆位置关系的判断。注意到圆的方程的特点，易知圆C过原点，所以A、C均不正确；再由B、D两选项和圆心、直线的斜率知B正确.

答案:B

2。直线m（x+1)+n（y+1)=0（m≠n）与圆x2+y2=2的位置关系是(）

A。相切B.相离C。相交D.不确定

解析:方法一,考查直线与圆的位置关系的判定方法.直线方程可化为mx+ny+m+n=0.由于圆心（0,0)到该直线的距离为，又＜0(m≠n)，∴d＜r，即直线与圆相交.

方法二：易知直线m（x+1）+n(y+1）=0(m≠n）恒过点(—1，—1),且点(-1，-1）在圆上，又m≠n，所以直线与圆不相切。所以直线与圆相交.

答案：C

3。过点（2,1)的所有直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线方程为()

A.3x—y-5=0B.3x+y—7=0

C。3x-y—1=0D.3x+y-5=0

解析：考查直线与圆的位置关系及圆的性质。直线被圆截得的最长弦应是直径,故问题即求过(2，1)和圆心的直线方程.圆的方程为（x—1）2+(y+2）2=5，直线被圆截得的弦最长时，应过圆心(1，-2)。由两点式，得直线方程为3x—y-5=0.

答案：A

4。已知圆C：(x—1）2+(y-2）2=25及直线l:(2m+1）x+(m+1)y=7m+4(m∈R).

（1）证明不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程。

(1)证明:∵直线过定点(3，1)，（3—1）2+(1—2)2=5＜25，

∴点（3，1）在圆的内部。

∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.

(2)解：从(1)的结论知当直线l过定点M（3,1)且与过此点的圆O的半径垂直时,l被圆所截得的弦长d（A，B）最短，由垂径定理知d(A，B）=,此时kl=.

由=2，得m=，代入得l的方程为2x—y—5=0。

5。已知圆x2+y2-6mx—2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈

(1)求证：不论m为何值，圆心总在同一条直线l上。

(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离？

（3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等.

(1）证明:将圆的方程配方得(x—3m）2+［y-(m-1)］2=25。

设圆心为（x，y)，则

消去m得l:x-3y-3=0.

∴圆心恒在直线l:x-3y—3=0上.

（2）解：设与l平行的直线是l′：x-3y+b=0,圆心（3m,m-1)到直线l′的距离为d=。

∵半径r=5,∴当d＜r,即＜b＜时，直线与圆相交；当d=r,即b=±时，直线与圆相切;当d＞r时，即b＜或b＞时，直线与圆相离.

（3)证明：设对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0,由于圆心到直线l1的距离d=，则弦长=与m无关，故截得的弦长相等。

30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)

1.圆x2+y2