专题05 导数大题（原卷版）.docx

专题05导数大题

解题秘籍

解题秘籍

导函数与原函数的关系

单调递增，单调递减

极值

极值的定义

在处先↗后↘，在处取得极大值

在处先↘后↗，在处取得极小值

两招破解不等式的恒成立问题

(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.

(1)分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

(2)函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．

常用函数不等式：

①，其加强不等式；

②，其加强不等式.

③，，

放缩

，

利用导数证明不等式问题：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可.

证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：

（1）证明（或）：

①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；

②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；

③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；

（2）证明（或）（、都为正数）：

①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；

②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；

③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；

（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到；

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

模拟训练

模拟训练

一、解答题

1．（23·24上·郴州·一模）已知函数.

(1)若曲线在处切线与轴平行，求；

(2)若在处取得极大值，求的取值范围.

2．（22·23下·烟台·三模）已知函数，其中．

(1)讨论方程实数解的个数；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．

3．（22·23·广州·三模）已知函数，．

(1)求函数的单调区间；

(2)讨论函数的零点个数．

4．（23·24上·宁波·一模）已知函数（e为自然对数的底数，）.

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，

5．（22·23下·镇江·三模）已知函数.

(1)若有两个极值点.求实数的取值范围.

(2)在（1）的条件下，求证：.

6．（22·23下·无锡·三模）已知函数.

(1)求的极值；

(2)求证：.

7．（22·23下·浙江·二模）设，已知函数有个不同零点.

(1)当时，求函数的最小值：

(2)求实数的取值范围；

(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.

8．（22·23下·苏州·三模）设函数.

(1)从下面两个条件中选择一个，求实数的取值范围；

①当时，；

②在上单调递增.

(2)当时，证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大.

9．（22·23下·江苏·三模）已知函数，.

(1)若与的图象恰好相切，求实数a的值；

(2)设函数的两个不同极值点分别为，（）.

（i）求实数a的取值范围；

（ii）若不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）

10．（22·23下·河北·三模）已知函数．

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)若为函数的导函数，有两个零点．

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）证明：．

11．（22·23·深圳·二模）已知函数的图象在处的切线经过点.

(1)求的值及函数的单调区间；

(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.

12．（22·23下·长沙·三模）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若有三个零点，且在处的切线经过点，，求证：.

13．（22·23下·湖南·二模）已知函数．

(1)求的最小值；

(2)证明：方程有三个不等实根．

14．（22·23下·长沙·二模）已知函数.

(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；

(2)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”.若时，函数是“恒切函数”，求证：.

15．（22·23下·湖北·三模）已知函数

(1)求函数的单调区间；

(2)若，在内存在不等实数，使得，证明：．

16．（22·23下·武汉·三模）已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）求证：．

17．（22·23·保定·二模）已知函数，其中常数，是自然对数的底数．

(1)若，求的最小值；

(2)若函数恰有一个零点，求a的值．

18．（22·23下·武汉·三模）已知，其中.

(1)若，讨论的单调性；

(2)已知是的两个零点，且，证明：.

19．（22