求数列的通项公式(学生版).doc

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求数列的通项公式

1、数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

2、数列的递推公式

若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1或an+1的关系式表示(如an＝2an－1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．

3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法

(1)待定系数法：①形如an＋1＝kan＋b的数列求通项；②形如an＋1＝kan＋r?bn的数列求通项；

(2)倒数法：形如an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)的数列求通项可用倒数法；

(3)累加法：形如an＋1－an＝f(n)的数列求通项可用累加法；

(4)累乘法：形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列求通项可用累乘法；

(5)“Sn”法：数列的通项an与前n项和Sn的关系：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))；Sn与an的混合关系式有两个思路：

①消去Sn，转化为an的递推关系式，再求an；②消去an，转化为Sn的递推关系式，求出Sn后，再求an.

考向一待定系数法

例1—1已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式。

例1—2在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n，数列{an}的通项公式。

可用待定系数法求通项的主要有三种：

①形如an＋1＝kan＋b的数列求通项，方法是：令an＋1＋λ＝k(an＋λ)，整理后与an＋1＝kan＋b对比可求出λ的值，得出数列是公比为的等比数列；

②形如an＋1＝kan＋r?bn的数列求通项，方法是：令an＋1＋λ?bn+1＝k(an＋λ?bn)，整理后与an＋1＝kan＋r?bn对比可求出λ的值，得出数列是公比为的等比数列；

③形如an＋2＝kan＋1＋ban的数列求通项，方法是：an＋2＋λan＋1＝μ(an＋1＋λan)，整理后与an＋2＝kan＋1＋ban对比可求出λ、μ的值，得出数列是公比为的等比数列．

变式1已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，Sn＋1＝3Sn＋2，求数列的通项公式an.

考向二倒数法

例2—1已知数列{an}中，其中a1＝1，且当n≥2时，an＝eq\f(an－1,2an－1＋1)，求数列{an}的通项公式。

例2—2已知数列{an}中，其中a1＝eq\f(3,5)，且an+1＝eq\f(3an,2an＋1)，求数列{an}的通项公式。

形如an＋1＝eq\f(p?an,q?an＋r)的数列求通项可用倒数法，方法是：两边取倒数、分离常数后，令bn＝eq\f(1,an)，

①若，则可转化为{bn}为等差数列求通项；②若，则可转化为待定系数法求通项。

变式2已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1?an＋an＋1－2an＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.

考向三累加法

例3已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，求数列{an}的通项公式。

形如an＋1－an＝f(n)的数列求通项可用累加法，方法是：a2－a1＝f(2)，a3－a2＝f(3)，…，an－1－an－2＝f(n－1)，an－an－1＝f(n)，所有等式左右两边分别相加，代入a1得an.

变式3已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,n(n－1))(n≥2)，求数列{an}的通项公式。

考向四累乘法

例4已知数列{an}的a1＝1，向量a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，求数列{an}的通项公式。

形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列求通项可用累乘法，方法是：eq\f(a2,a1)＝f(2)，eq\f(a3,a2)＝f(3)，…，eq\f(an－1,an－2)＝f(n－1)，eq\f(an,an－1)＝f(n)，所有等式左右两边分别相乘，代入a1得an.

变式4已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝eq\f(n＋2,n)an，求数列{an}的通项公式。

考向五“Sn”法

例5—1设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有Sn＝2an－3n.

(1)求数列{an}的首项a1及递推关系式an＋1＝f(an)；(2)求通项公式an.

例5—2已知{an}是各项为正的数列，且Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\