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计数原理及二项式定理概念公式总结

排列组合及二项式定理概念及公式总结

1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×……mn种不同的方法分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”

3.两个计数原理的区别:

如果完成一件事，有n类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.

4.排列:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

（1）排列数:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号mnA表示（2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=mnnnnAm

n

或mn

A)!

(!

mnn-=()

nmNmn≤∈*,,

n

n

A=!n=()1231????-nn=n(n-1)!规定0！=15.组合：一般地，从n个不同元素中取出m()mn≤个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

（1）组合数:从n个不同元素中取出m()mn≤个元素的所有组合的个数，用m

nC表示

（2）组合数公式:(1)(2)(1)

!

mmnn

mmAnnnnmCAm---+==或

)!

(!!

mnmnCmn-=

),,(nmNmn≤∈*且

（3）组合数的性质：

①mnnmnCC-=．规定：10=nC；②mnC1+＝mnC+1-mnC.③0132n

nn

nnnCCCC++++=④nCCnnn==-11⑤1=nnC

6.二项式定理及其特例：

（1）二项式定理()()

*--∈+++++=+NnbCbaCbaCaCban

nnkknknnnnnn

110

展开式共有n+1项，其中各项的系数{}()nkCk

n,,2,1,0∈叫做二项式系数。（2）特例：1

(1)1nrr

nn

nxCxCxx+=++++

+.

7.二项展开式的通项公式：k

knknkbaCT-+=1（为展开式的第r+1项）

8．二项式系数的性质：

（1）对称性：在()n

ba+展开式中，与首末两端“等距”的两个二项式系数相

等即m

nnmnCC-=，直线2

n

r=

是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：当2

1

+

nk时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

n是偶数时，在中间一项2nn

C取得最大值；当n是奇数时，在中间两项12nn

C

-，12nn

C

+取得最大值．

9.各二项式系数和：（1）

012

2nr

n

nnnnnCCCCC=+++

++

+

（2）15

31420

2-=+++=+++nnnnnnn

CCCCCC

10.各项系数之和：（采用赋值法）

例：求()932yx-的各项系数之和

解：()992728190932yayxayxaxayx++++=-

令1,1==yx

，则有()()132329

92109

-=-=++++=-aaaayx，

故各项系数和为-1