东北三省精准教学2024-2025学年度高三上学期12月联考数学强化卷【含解析】.docx

东北三省精准教学2024-2025学年度高三上学期12月联考数学强化卷【含解析】

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足，则（）

A. B. C. D.

2.设集合，，，则下列选项中一定成立的是（）

A. B. C. D.

3.已知一圆台内切球G与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径分别为，，若，则圆台的体积与球的体积之比为（）

A. B. C.2 D.

4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则B的大小为（）

A. B. C. D.

5.已知且，若函数的值域为R，则a的取值范围是（）

A. B. C. D.

6.已知定义在R上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为（）

A. B. C. D.

7.在等比数列中，为其前n项和，，且，，成等差数列，则的最小值为（）

A. B. C. D.1

8.如图所示，将函数的图象向右平移得到的图象，其中P和分别是图象上相邻的最高点和最低点，点B，A分别是，图象的一个对称中心，若，，则（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知方程，其中.下列命题为真命题的是（）

A.可以是圆的方程 B.可以是抛物线的方程

C.可以是椭圆的标准方程 D.可以是双曲线的标准方程

10.如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（）

A.三棱锥的体积为定值 B.直线平面

C.当时， D.直线与平面所成的角的正弦值为

11.定义在上的函数满足，当时，，则（）

A.当时，

B.当n为正整数时

C.对任意正实数t，在区间内恰有一个极大值点

D.若在区间内有3个极大值点，则k的取值范围是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.

13.设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，P为C上一点，且.若的面积为，则________.

14.已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围是________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.

（1）若AC与BD交于点O，且，求BO的长；

（2）求四边形ABCD周长的最大值.

16.（15分）已知四棱柱，如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面内的投影为点，且，.

（1）求证：平面平面；

（2）已知点E在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.

17.（15分）已知函数.

（1）求在上的单调递增区间.

（2）若关于x的方程在区间内有两个不同的解，，求实数a的取值范围，并证明.

18.（17分）已知函数.

（1）若，曲线在点处的切线与直线垂直，证明：.

（2）若对任意的，且，函数，证明：函数在上存在唯一零点.

19.（17分）定义：从数列中随机抽取m项按照项数从小到大的顺序依次记为，，…，（），将它们组成一个项数为m的新数列，其中，若数列为递增数列，则称数列是数列的“m项递增衍生列”.

（1）已知数列满足，数列是的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的；

（2）已知数列是项数为m的等比数列，其中，若数列为1，16，81，求证：数列不是数列的“3项递增衍生列”；

（3）已知首项为1的等差数列的项数为14，且，数列是数列的“m项递增衍生列”，其中.若在数列中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m的最大值.

答案及解析

1.C【深度解析】由，得，所以.故选C.

2.B【深度解析】根据集合中元素的互异性，可得，解得，，0，因此方程，，，均无解，故必有.故选B.

3.A【深度解析】如图为圆台及其内切球的轴截面，其中圆G是等腰梯形ABCD的内切圆，设圆G与梯形的上底、下底、腰AD分别切于点，，E，连接GA，GD，，，GE，则，，且G，，三点共线，设球的半径为R，则.由圆的切线的性质可知GD，GA分别为，的平分线，则，由切线长定理可知，，故由射影定理得.设圆台的体积为，球的体积为，则.故选A.

4.D【深度解析】因为，所以由正弦定理得，所以.因为，，所以，所以或，即或（舍去），所以，解得.故选D.

5.A【深度解析】当时，在上单调递增，所以，在上单调递增，所以，则函数的值域不可能为R；当时，在上单调递减，所以，在上单调递减，所以，若使函数的值域为R，则，即，解得.故选A.

6.C【深度