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河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．抛物线的焦点到准线的距离为（???）

A． B． C． D．

2．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（???）

A． B．

C． D．

3．双曲线的左焦点到其中一条渐近线的距离为（???）

A．2 B． C．1 D．

4．已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（????）

A． B． C． D．

5．已知，过抛物线的焦点作直线交于，两点，若上存在点，使得四边形为平行四边形，则t（????）．

A．是定值 B．有最大值

C．有最小值 D．以上说法均不正确

6．已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（????）

A． B． C． D．

7．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（????）

A． B． C． D．

8．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（???）

??

A． B．

C． D．

二、多选题

9．以下说法正确的有（????）

A．对，且，就一定有A，B，C，D四点共面；

B．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底；

C．若，，则；

D．正方体，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面上．

10．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（????）

A．l与相切

B．当P，A，B三点共线时，

C．当时，

D．满足的点有且仅有2个

11．双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（????）

A．若，则

B．当n过时，光由所经过的路程为13

C．射线n所在直线的斜率为k，则

D．若，直线PT与C相切，则

三、填空题

12．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．

13．过点与圆相切的直线方程为．

14．伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．

在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论：

①曲线C关于原点中心对称；

②恒成立；

③曲线C上任一点到原点的距离不超过；

④当时，取得最大值或最小值．

其中所有正确结论的序号是．

四、解答题

15．已知圆过原点和点，圆心在轴上．

(1)求圆的方程；

(2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程．

16．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，，，，，点是的中点，点是平面与直线的交点.

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成的角的正弦值.

17．抛物线上的点到C的准线的距离为5．

(1)求C的方程；

(2)已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值．

18．已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率．

(1)求双曲线的方程；

(2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值．

19．已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若点，在椭圆上，且，过，分别作椭圆的切线，，与相交于点.

（i）求点的轨迹方程；

（ii）求周长的最小值.

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