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运筹学习题答案及注释
2.3某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如表2-32所示，求表中各括弧内未知数的值。
cj
3
2
2
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
〔b〕
1
1
1
1
0
0
0
x5
15
〔a〕
1
2
0
1
0
0
x6
20
2
〔c〕
1
0
0
1
cj-zj
3
2
2
0
0
0
0
x4
5/4
0
0
(d)
(l)
-1/4
-1/4
3
x1
25/4
1
0
(e)
0
3/4
(i)
2
x2
5/2
0
1
(f)
0
(h)
1/2
cj-zj
0
(k)
(g)
0
-5/4
(j)
解：最后结果如下：
cj
3
2
2
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
〔10〕
1
1
1
1
0
0
0
x5
15
〔2〕
1
2
0
1
0
0
x6
20
2
〔3〕
1
0
0
1
cj-zj
3
2
2
0
0
0
0
x4
5/4
0
0
(1/4)
(1)
-1/4
-1/4
3
x1
25/4
1
0
(5/4)
0
3/4
(-1/4)
2
x2
5/2
0
1
(-1/2)
0
(-1/2)
1/2
cj-zj
0
(0)
(-3/4)
0
-5/4
(-1/4)
注释：由题中初始单纯形表及、最终单纯形表，我们可以看出：在初始单纯形表中，先选x1进基，选x5出基，做变换；然后再选x2进基，选x6出基，做变换，那么得到最终单纯形表。
2.7给出线性规划问题。
max
st.
要求：〔1〕写出其对偶问题；〔2〕原问题最优解为X*=〔2，2，4，0〕，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：〔1〕其对偶问题为：
min
st.
〔2〕用单纯形法解原问题，将原问题化成标准形式如下：
max
st.
因此，可得如下单纯形表：
cj
2
4
1
1
0
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
0
x5
8
1
3
0
1
1
0
0
0
0
x6
6
2
1
0
0
0
1
0
0
0
x7
6
0
1
1
1
0
0
1
0
0
x8
9
1
1
1
0
0
0
0
1
cj-zj
2
4
1
1
0
0
0
0
因4≥2≥1，所以选x2进基，因8/3≤6≤9，应选x5出基，那么得
cj
2
4
1
1
0
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
4
x2
8/3
1/3
1
0
1/3
1/3
0
0
0
0
x6
10/3
5/3
0
0
-1/3
-1/3
1
0
0
0
x7
10/3
-1/3
0
1
2/3
-1/3
0
1
0
0
x8
19/3
2/3
0
1
-1/3
-1/3
0
0
1
cj-zj
2/3
0
1
-1/3
-4/3
0
0
0
因1≥2/3，所以选x3进基，因10/3≤19/3，应选x7出基，那么得
cj
2
4
1
1
0
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
4
x2
8/3
1/3
1
0
1/3
1/3
0
0
0
0
x6
10/3
5/3
0
0
-1/3
-1/3
1
0
0
1
x3
10/3
-1/3
0
1
2/3
-1/3
0
1
0
0
x8
3
1
0
0
-1
0
0
-1
1
cj-zj
1
0
0
-1
-1
0
-1
0
因1≥0，所以选x1进基，因〔10/3〕/〔5/3〕≤3/1≤〔8/3〕/〔1/3〕，应选x6出基，那么得
cj
2
4
1
1
0
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
4
x2
2
0
1
0
2/5
2/5
-1/5
0
0
2
x1
2
1
0
0
-1/5
-1/5
3/5
0
0
1
x3
4
0
0
1
3/5
-2/5
1/5
1
0
0
x8
1
0
0
0
-4/5
1/5
-3/5
-1
1
cj-zj
0
0
0
-4/5
-4/5
-3/5
-1
0
所以，最优解为：X*=〔2，2，4，0，0，0，0，1〕，代入目标函数得z=16。
其对偶问题得最优解为：X*=〔4/5，3/5，1，0，0，0，0，4/5〕，代入目标函数得w=16。
2.9用对偶单纯形法求解以下线性规划问题。
〔2〕min
st.
解：先将问题改写为：
max
st.
约束条件两端乘“－1”得
max
st.
列出单纯行表，并用对偶单纯形法求解步骤进行计算，其过程如下：
cj
-5
-2
-4
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4
-4
-3
-1
-2
1
0
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