专题03 整式与因式分解【考点精讲】（解析版）.docxVIP

考点03整式与因式分解

一、代数式的概念及求值

1．代数式的概念

用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式．

2．代数式的值

用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。求代数式的值分两步；第一步，代数；第二步，计算。要充分利用“整体”思想求代数式的值.

二、整式的相关概念

整

式

的

相

关

概

念

单项式

由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。

如：单项式系数是，次数是4。

多项式

几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

如：多项式2+4x2y﹣是五次三项式

整式

整式是单项式与多项式的统称。

同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。

合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。

三、整式的运算

整

式

运

算

幂

的

运

算

同底数幂乘法

am·an＝am＋n（a≠0）

am＋n＝am·an

同底数幂除法

eq\f(am,an)＝am－n(m，n是正整数)

am－n＝eq\f(am,an)

幂的乘方

(am)n＝amn（a≠0）

amn＝(am)n

积的乘方

(ab)n＝anbn

anbn＝(ab)n

乘法

公式

平方差公式

(a＋b)(a－b)＝a2－b2

a2－b2＝(a＋b)(a－b)

完全平方公式

(a±b)2＝a2±2ab＋b2

a2±2ab＋b2＝(a±b)2

整式

加减

①整式的加减其实就是合并同类项；

②整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．

整式

乘法

①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．

③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．

整式

除法

①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.

四、分解因式

因式

分解

概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。和的形式变积的形式

因式分解方法

提公因

式法

ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的运用）

公式法

①运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．

②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.

十字相乘法

一般地，=可以用十字交叉线表示

【考点1】代数式的概念与求值

【例1】（2022·湖南长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（???????）

A．元 B．元 C．元 D．元

【答案】C

【分析】根据题意列求得购买乙种读本本，根据单价乘以数量即可求解．

【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为元故选C

【例2】已知a是一元二次方程的根，则的值为______．

【答案】2018

【详解】∵a是一元二次方程的根，

∴，即，

∴．

故答案为：2018．

整体代入法求代数式的值

（1）直接整体代入求值：如果已知的代数式与要求代数式之间含有相同的式子，只要把已知式子的值直接代入到要求的式子中，即可得出结果。

（2）把已知式子变形后再整体代入求值：在求代数式的值时，如果题目中所求的代数式与已知代数式成倍数关系，各字母的项的系数对应成比例，就可以把这一部分看作一个整体，再把要求的值的代数式变形后，整体代计算求值。

1．（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品千克的售价为元，那么这种商品8千克的售价为（）

A．（元） B．（元） C．（元） D．（元）

【答案】A

【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可；

【详解】

∵千克的售价为元，

∴1千克商品售价为，

∴8千克商品的售价为（元）；

故选A．

2．（2022·内蒙古包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（???????）

A． B． C． D．16

【答案】C

【分析】根据a，b互为相反数，可得，c的倒数是4，可得，代