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豪斯多夫

豪斯多夫，F．(Hausdorff，Felix)1868年11月8日生于德国布雷斯劳[Breslau，今波兰弗拉茨瓦夫(Wroclaw)]；1942年1月26日卒于波恩．数学．?

豪斯多夫是犹太人，他的父亲是一位富有的商人．在豪斯多夫年幼的时候，随着父母迁往莱比锡．在莱比锡读完中学后，又在当地和弗来堡、柏林等地学习数学和天文学．1891年在莱比锡高校毕业并取得博士学位．?

豪斯多夫的爱好极为广泛，不仅对数学、天文学和光学有爱好，而且也酷爱文学、哲学和艺术．他的挚友主要是艺术家和作家．豪斯多夫曾用Dr．PaulMongre的笔名出版了两本诗集和一本哲学著作(DasChaosinKosmischerAuslese，1898)；还有大量的富有哲理的散文和文章．在1904年曾发表一部滑稽戏的剧本(DerArstSeinerEhre)，这部戏在1912年上演，获得相当大的胜利．他在1891—1896期间，曾发表过4篇天文学和光学的文章以及数学中很多分支的文章．1896年成为莱比锡高校讲师，1902年成为副教授．以后主要致力于数学，渐渐削减了非科学的写作，特殊是1904年以后，主要探讨集论．1910年，他作为副教授去波恩高校，在那里写出了闻名的专题著作《集论基础》(GrundzügederMengenlehre)，发表于1914年．这本专著影响极大，使豪斯多夫成为公认的一般拓扑的奠基人．1913年，豪斯多夫在格赖夫斯瓦尔德(Greifswald)高校任教授．1921年回到波恩高校任教授，在波恩始终特别活跃，直到1935年，因为他是犹太人而被迫隐退．但他仍接着从事集论和拓扑学的探讨工作．他的成果只能在国外发表．1941年，他作为犹太人将被送到拘留营去．当拘留变得紧迫时，豪斯多夫和他的妻子、妻妹一起于1942年1月26日自杀于波恩．?

豪斯多夫在数学的集合论、拓扑学、连续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等很多分支中都有建树、最主要的贡献是在集合论和点集拓扑学方面．?

豪斯多夫将他的前辈导入的一些概念赐予适当的概括，导入了很多新的观念、方法和定理，发展为有系统的完备的理论，并为进一步发展供应了强大的动力．他是点集拓扑和度量空间的一般理论的他建者．?

豪斯多夫的《集论基础》(1914)一书在数学文献中是很宝贵的，他概括了前人广泛的工作，使之成为新理论的支柱，创建并完成了拓扑和度量空间的理论．由于它的阐述清楚、精确而美丽，所以很简洁读，直到今日仍有价值．他发展了D．希尔伯特(Hilbert)(1902)和H．外尔(Weyl)(1913)分别用公理化方法探讨还将有面几何及黎曼曲面时所提出的概念，用邻域的语言赐予公理的描述，定义了拓扑空间．在豪斯多夫之前，M．R．弗雷歇(Frechet)F．里斯(Riesz)等虽然都企图建立拓扑空间，给出过各种定义及相关概念，但第一个令人满足的拓扑空间定义是豪斯多夫在《集论基础》中提出的．他定义的拓扑空间建立在抽象集X上，使每个x∈X对应一个子集族(x),{(x)}x∈X称为邻域系统，满足?

(1)对x∈X，(x)≠，且对U∈(x)，有x∈U；?

(2)若x∈U∈(y)，则V∈(x)使VU?

(3)对U1，U2∈(x)，U∈(x)，使UU1∩U2；?

(4)对x，y∈X，x≠y，?开集U∈(x)，V∈(y)，??

由{(x)}x∈X生成的拓扑空间称为豪斯多夫空间．它是最重要的拓扑空间之一．形成拓扑的各种方法，首先由豪斯多夫在1927年赐予系统的描述．?

在欧氏空间的子集类中，G．康托尔(Cantor)曾导入并探讨过开集、闭集、闭包、内部等概念，豪斯多夫的《集论基础》将它们推广于抽象空间，并建立了两个可数性公理：?

(1)对x∈X，子集族{(x)}是可数集．?

(2)全部的{(x)}x∈X的集是可数集．?

关于同胚的概念，H．庞加莱(Poincare)曾在狭窄的意义下导入并探讨过．弗雷歇于1910年首先探讨了抽象空间上的同胚概念，但在内容上详尽无遗的论述和系统讲解是豪斯多夫在《集论基础》中给出的．1935年，他还首先留意到正规性是闭映射的不变量．?

关于欧氏空间的子空间，E．L．林德勒夫(Lindelf)曾探讨过集的凝合点的概念，豪斯多夫在《集论基础》中，在拓扑空间上详尽地探讨了集合的凝合点及其简洁性质，并由此推出任一其次可数空间可表现为两个不相交集的并，其中之一是完全集，另一集是可数集．?

关于子空间的系统探讨也是从豪斯多夫《集论基础》起先的．?

设{As:s∈S｝是X的子集族，假如对S的随意不同元素组成的有限序列s1，s2，…，sk，以及