高考 导数解答压轴题（解析版）.pdfVIP

备战高考导数解答压轴题

1.(山东临沂模拟)已知函数/(x)=ln(x+l)———+1

(1)求函数的极值；

(2)①当x0，/(x)0恒成立，求正整数七的最大值

②证明：(l+lx2)(l+2x31-[l+(〃+l)]〉e(M

【答案】(1)答案见解析；(2)①3,②证明见解析.

【分析】

(1)求导后，分左0和左0讨论即可；

(2)①转化为寻求/(工丫地〉。，需要找隐零点的范围

②将所证结论两边取对数，再运用①的结论ln(x+l)上L—i=2-3即可.

7x+1x+1

【解析】

(1)定义域(T+00)，/G)=：十:9

(x+1)

当上K0，/(x)o,所以函数/(x)在(—1,+8)上单调递增，无极值

当上0，f(x)0,得x〉左一得一1刀上一1

所以函数/(X)在(Tk-1)上单调递减，在(左T+8)上单调递增

此函数/(x)的极小值/(左-l)=lnLk+2无极大值

综上，当左0，函数/(x)无极值;当左0，

函数/(x)的极小值为In左—左+2,无极大值.

(2)当x0，/(x)0恒成立，即只需/(xZm0成立即可

由(1)可知

当%0，函数/(x)在(-1,1)上单调递减，在化-1,+s)上单调递增

⑴若10,即左1，/(X)在(O,+。)上单调递增，所以/(x)mm〉0)=l满足题意

i（i）若左—10,即左1,函数/X（）在0（#—1）上单调递减，在左（-1,+8）上单调递增

所以/(同同=/(左-l)=lnk-左+20

1—Y

令g(x)=lnx-x+2,g，(x)=0

x

所以g(x)在(L+S)上单调递增

又知g(2)=ln20,g(3)=ln3_l0,g(4)=ln4_20

所以现e3（,4）使得g%（o）=O,

则g(x)=lnx—x+20的解集为(1,%)

综上左的取值范围为一（叫七）,%e3（,4）,

所以正整数片的最大值为3

②证明：两边取对数得Inl（+lx2）l（+2x3）…[1+〃（

72+1)12n——

〃72+1

即只需证In(l+lx2)+ln(l+2x3)+…+ln[l+〃(〃+1)2〃

〃72+1

由⑴知ln(x+l)〉--1=2--

x+1x+1

3=2-33

2——

nn72+1

所以In(l+lx2)+ln(l+2x3)+