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专题一数列通项公式的求法

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本节总结几种求解数列通项公式的方法。

用观察法求数列的通项：

例1：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式；

（1）（2）（3）

二、定义法：

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例2．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

解：设数列公差为

∵成等比数列，∴，

即

∵，∴………………①

∵∴…………②

由①②得：，

∴

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

三、公式法

若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。

例3：已知数列的前n项和为，求数列的通项公式。（名49例2）

变式训练：已知数列的前n项和为，求数列的通项公式。（名师一号P70）

点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．

累加法

形如(n=2、3、4…...)且可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例4：在数列{}中，=1，(n=2、3、4……)，求{}的通项公式。

解：∵

这n-1个等式累加得：=

故且也满足该式∴().

例:5．在数列{}中，=1，(),求。

解：n=1时,=1以上n-1个等式累加得

==，故且也满足该式∴()。

累乘法

形如(n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例6．在数列{}中，=1，，求。

解：由已知得，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故

且=1也适用该式∴().

例7．已知数列{}满足=，，求。

解：由已知得，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入

上式得n-1个等式累乘，即=

三、构造法

例5、（06福建理22）已知数列{}满足=1，=()，求数列{}的通项公式。

解：构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列

即=整理得：=使之满足=∴p=1

即是首项为=2，q=2的等比数列∴==所以，又因为也满足该式，所以。