山西省太原市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学.doc

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2023～2024学年第一学期高二年级期末学业诊断

数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.直线在轴和轴上的截距分别为（）

A.，2 B.，2 C.， D.，

【答案】B

【解析】

【分析】利用横纵截距的意义求解即得.

解析】直线，当时，，当时，，

所以直线在轴和轴上的截距分别为，2.

故选：B

2.圆的圆心坐标和半径分别为（）

A.， B.， C.，3 D.，3

【答案】A

【解析】

【分析】利用给定圆方程直接求出圆心坐标及半径即得.

【解析】圆的圆心坐标为，半径为.

故选：A

3.已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可.

【解析】因为双曲线方程为：，

所以渐近线方程为：.

故选：D

4.平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于（）

A.1 B.0 C. D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行线间的距离公式直接得出结论.

【解析】l1、l2的距离为＝1.

故选：A.

【小结】本题考查平行线间的距离公式，属于基础题型.

5.设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（）

A. B.4 C. D.5

【答案】C

【解析】

【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解.

【解析】解：抛物线的焦点是，准线方程为：，

设点到准线的距离为，则，

如图所示：

当三点共线时，取得最小值，

故选：C

6.已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】联立解方程，求出交点横坐标，然后列式计算即可.

【解析】联立，消去得，

所以，此时方程的解为，

所以，

解得，符合，

所以双曲线的焦距为.

故选：B.

7.在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程.

【解析】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，

又，两式相减得，

整理得，

所以以点为中点的弦所在的直线方程为，

即.

故选：C.

8.如图，直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，与准线交于点，且，则直线的斜率为（）

A. B.2 C.3 D.

【答案】A

【解析】

【分析】过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义以及直角三角函数可求.

【解析】过点作准线的垂线，垂足为，

由抛物线的定义可得，

在直角三角形中，，，

所以.

故选：A.

二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（）

A.点到原点的距离为

B.点到直线的距离为1

C.不论实数取何值，直线：都经过点

D.是直线的一个方向向量的坐标

【答案】AD

【解析】

【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项计算、判断即得.

【解析】由，解得，则点，

对于A，到原点距离，A正确；

对于B，到直线的距离，B错误；

对于C，，当时，直线不过点，C错误；

对于D，直线的斜率，因此是直线的一个方向向量的坐标，D正确.

故选：AD

10.当时，方程表示的轨迹可能是（）

A.两条直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线

【答案】ABD

【解析】

【分析】对所取范围分类讨论，即可求得不同情况下对应的轨迹.

【解析】对方程，

若，则，即，此时该方程表示两条直线与；

若，此时该方程表示椭圆；

若，此时该方程表示双曲线；

综上所述，该方程表示的轨迹可能是两条直线、椭圆或双曲线.

故选：ABD.

11.椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（）

A. B.

C.点到轴距离为 D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论.

【解析】如图：

因为椭圆的标准方程为：，所以：，，.

因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率，

所以必是：.

根据椭圆的定义，，故A正确；

在中，，，

由余弦定理：，故B错误；

由，到轴的距离为：，故C正确；

，故D错误.

故选：AC

12.