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2024年研究生考试考研数学(农314)自测试卷及答案指导
一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）
1、已知函数fx=x
A.x
B.x
C.x
D.x
答案：A
解析：首先求导f′x=3x2?6x，令f′x=0，得x=0或x=
2、已知函数fx=x3?3x2+4x
A.a
B.1
C.a1
D.a=1
答案：B
解析：
首先求出fx
f
f
由题意，fa=0，即a3?
接下来判断a取何值时fx在x=a
当a=1时，f″1=
当a=2时，f″2=
因此，a的取值范围是1a
3、设函数fx=x3?3x
A.0
B.-1
C.2
D.3
答案：A
解析：要计算fx在x=1处的二阶导数f″1
f
接着，计算f″x，即
f
然后，将x=1代入
f
因此，fx在x=1
4、设函数fx=e
A.2
B.1
C.0
D.e
答案：A
解析：要求fx在x
f
代入fx=e
f
使用泰勒展开eh2≈1+
e
当h→0，h也趋近于0，因此f′
5、已知函数fx=x
A.x
B.x
C.x
D.x=?
答案：B
解析：要求导数f′x的零点，首先求
f
令f′
3x2?
所以，f′x的零点为x=?1和
6、已知函数fx=ln
A.x
B.x
C.x
D.x
答案：B
解析：
首先对函数fx=ln
令f′x=
然后求二阶导数，得f″
由于x0，所以f″x
由于题目要求极值点而非极大值点，因此我们还需要检查其他选项。通过计算f′e和f′2的符号，可以发现f′e
所以函数fx的极值点为x
7、已知函数fx=lnx2+1
A.2
B.2
C.2
D.2
答案：A
解析：函数fx=ln
f
所以正确答案是A。
8、若函数fx=eax
A.0
B.1
C.-1
D.2
答案：C
解析：要判断函数在x=
f
将x=1代入
f
解这个方程得a=?1，所以a的值为
9、设函数fx
A.0
B.?
C.1
D.2
答案：C
解析：
拐点是函数凹凸性改变的点。要找到拐点，我们需要计算函数的一阶导数和二阶导数，并找出二阶导数等于零的点。
函数fx=e
函数的二阶导数是f″
要找二阶导数等于零的点，我们解方程f″
2
由于e?x2永远不为零，我们只需解1+2
因此，我们需要检查f″x的符号变化来确定拐点。当x接近0时，f″x为正，当x远离0时，
所以，拐点是0,f0=0,1。选项A提供了正确的拐点坐标。然而，注意到题目中的选项
10、设函数fx=1
A.0
B.1
C.1
D.∞
答案：B
解析：根据泰勒公式，当x→0时，有fx≈11+02=1
二、计算题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）
第一题：
设函数fx=e
答案：
最大值为f1=e
解析：
首先对函数fx求一阶导数，得到f
令f′x=
化简得e2x=3x。由于e2x
检查x=0.3517是否在区间?1
检查区间端点x=?1和x=2
比较f?1、f0.3517
通过计算，我们发现：
-f
-f
-f
因此，最大值为f2=e
第二题：
设函数fx=ex2sinx
答案：
最大值为fπ2=
解析：
首先求函数fx
令f′x=
e
由于ex2永远大于0，所以只需解
由于x∈0,π，在这个区间内sinx≥0，所以2
在x=π2处，sinx=
检查端点x=0和
比较在x=
f
因此，函数fx在区间0,π上的最大值为e
第三题：
已知函数fx=e
（1）求函数fx的二阶导数f
（2）求函数fx在x
（3）已知f0=0，f′0=1
答案：
（1）f
（2）fx在x=
（3）a=0
解析：
（1）利用乘积规则和链式法则，函数fx
f
再求二阶导数：
f
（2）泰勒展开式到二阶项可以通过计算fx，f′x和f″x在x=0处的值得到。由于ex和
f0=e
将这些值代入泰勒展开式，得到：
fx=f
为了简化，可以写成：
f
（3）由于f0=0和f
解得a=0，
第四题：
已知函数fx=e
答案：
最大值M=eπ
解析：
首先求函数fx的导数f
f
将sinx+cos
sin
由此，导数f′
f
令f′x=
e
由于ex≠0
在区间0,π上，k只能取0或1，因此x的可能值为x=?π4或x=
计算fx在x
f
比较f3π4与f
因此，函数fx在区间0,π上的最大值为e3π4?
第五题：
已知函数fx=ex1
（1）求fx
（2）设Fx=0
答案：
（1）由f′x=ex1+x可知，当x0时，
（2）因为Fx=
由（1）可知F′x在[0
因此，Fx在[
解析：
（1）首先，求fx的导数f′x，然后根据f
（2）求Fx的最大值和最小值，需要求F′x的正负变化。由于fx在[0,+∞)
第六题：
已知函数fx=x3?6x2+
（1）求常数a的值；
（2）求函数的极值点；
（3）证明：对于任意x∈R，
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