广东省六校2025届高三上学期12月第三次联考数学试卷（含解析）.docxVIP

2025届高三·十二月·六校联考

数学科试题

（满分150分.考试时间120分钟.）

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．命题：“”的否定是（???）

A． B．

C． D．

3．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（????）

A． B．

C． D．

4．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（???）

A． B．

C． D．

5．已知，且，则的最小值为（???）

A．4 B． C．6 D．8

6．将曲线（为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（???）

A． B． C． D．

7．如图，在已知正方体.中，是棱上的点，且平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（???）

A． B．

C． D．

8．已知函数，若有两个零点，则的值为（???）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（???）

A．

B．

C．若，则

D．若，则

10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（??）

A．当，最大

B．使得成立的最小自然数

C．

D．中最小项为

11．如图，在直三棱柱中，，Q是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（????）

A．三棱锥的体积为定值

B．直线与所成角的正切值的最小值是

C．在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球

D．的最小值为

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12．已知向量，若与垂直，则等于.

13．已知数列的前项和为，，则数列的前项和.

14．若存在（互不相等），满足，则的取值范围为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．在中，角对应的三边分别是，且

(1)求角的值;

(2)若，求的面积.

16．已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程和离心率；

(2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围.

17．如图所示，已知四棱锥中，，.

??

(1)求证:平面；

(2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.

18．已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)讨论的单调性；

(3)若是的两个极值点，证明：.

19．给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，，例如数列：，则.

(1)若，求和；

(2)求证:；

(3)求的最值.

答案

1．D

解析：，

，

所以.

故选：D.

2．B

解析：因为命题：“”的否定是：“”.

故选：B

3．B

解析：在中，取为基底，

则，

因为点分别为的中点，,

所以，

所以.

故选：B.

4．C

解析：由题意，

对于A，由，得，

所以函数在上单调递增，故A不符；

对于B，由，得，

所以函数在上不单调，故B不符；

对于C，由，得，

所以函数在上单调递减，故C符合；

对于D，由，得，

所以函数在上不单调，故D不符.

故选：C.

5．D

解析：因为，且，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为.

故选：D.

6．C

解析：设直线与曲线相切，设切点为，

，

则有，

，解得，所以，

所以切点为，

将曲线（为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，

则.

故选：C.

7．A

解析：如图：取棱上的点，使得，连接，.不妨设正方体棱长为3.

则，所以点共面，平面就是平面.

平面把正方体分成两部分，其中几何