【数学】山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试题（解析版）.docx

山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期

第一次月考数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.命题“都有”的否定是（）

A.不存在

B.存在

C.存在

D.对任意的

【答案】B

【解析】由全称命题的否定为特称命题，∴原命题的否定为：存在.

故选：B.

2.“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为，而推不出，例如满足，

但不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3.集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】图中阴影部分所表示的集合为.

故选：B.

4.集合，，，，则下面正确的是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】对于集合，当时，则，与B集合中元素相同；

当时，则，与集合C中元素相同；

当时，则，与集合D中元素相同；

所以.

故选：D.

5.已知，，，均为实数，有下列命题：

（1）若，，则；

（2）若，，则；

（3）若，，则，

其中正确命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】D

【解析】对于（1），，将不等式两边同时除以，

，所以（1）正确；

对于（2），，将不等式两边同时乘以，

，所以（2）正确；

对于（3），，

又，，所以（3）正确.

故选：D．

6.若“，”是假命题，则的取值范围为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】由“，”是假命题，

得“，”是真命题，

当时，，符合题意；

当时，则，解得.

综上，的取值范围是.

故选：B.

7.已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】由，可得或，

由，即，得，，

当，即时，不等式的解为，

此时不等式组的解集为，

又因为不等式组仅有一个整数解，

则，解得；

当，即时，不等式解为，

又因为不等式组仅有一个整数解，

则，解得；

综上所述，的取值范围为.

故选：B.

8.已知，，，则（）

A.S的最大值是 B.S的最大值是

C.S的最大值是 D.S的最大值是

【答案】B

【解析】∵

，

令，

∵，，则，当且仅当，

即时等号成立，

故，可得，

又∵在上单调递增，则，

∴，即S的最大值是.

故选：B.

二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知命题：，，则命题成立的一个充分条件可以是（）

A. B.

C. D.

【答案】ABD

【解析】由命题：，成立，得，解得.

故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合.

故选：ABD.

10.若，，，则下列不等式恒成立的是（）

A. B.

C. D.

【答案】BD

【解析】因为，则，当且仅当时取等号，故A错误；

因为，当且仅当时取等号，故B正确；

令，则不成立，故C错误；

因为，

当且仅当时取等号，故D正确.

故选：BD.

11.通常我们把一个以集合作为元素集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（）

A.族为集合上的一个拓扑

B.族为集合上的一个拓扑

C.族为集合上的一个拓扑

D.若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑

【答案】ABD

【解析】对于A，首先满足条件（1），

其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或，都在中，

满足条件（2），

再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或，都在中，

满足条件（3），故A正确；

对于B，首先满足条件（1），

其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或或，

都在中，满足条件（2），

再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或或，

都在中，满足条件（3），故B正确；

对于C，不妨设，则，

不在中，故C错误；

对于D，由题意不妨设族为集合上的一个拓扑，

由条件（2）可知中的有限个元素取交后得到的集合都在，

且由条件（3）可知中的任意多个元素取并后得到的集合都在，

则，下证：也是集合上一个拓扑.

首先满足条件（1），

其次，设，则，

而，故，

故，同理可证，

故中有限个元素取交后得到的集合都在中，

任意多个元素取并后得到的集合都在中，

满足条件（3），故D正确.

故选：AB