2024-2025学年上海市上海交通大学附属中学嘉定分校高一上学期期中考试数学试卷含详解.docx

2024-2025学年上海交大附中嘉定分校高一（上）期中数学试卷

一,填空题（本大题满分54分,前6题每题4分,后6题每题5分,填错或不填在正确的位置一律得零分）

1．在实数范围内,的四次方根是．

2．已知,则的值为．

3．比较下列两数的大小关系,的大小（填,或符号）

4．关于的不等式的解集为．若,,则的取值范围是．

5．函数的值域是R,则a的取值范围是

6．已知,,则方程不同解的个数为．

7．在区间上恰有一个x满足方程,则的取值范围为．

8．已知是常数,命题：存在实数,使得．若是假命题,则的取值范围是．

9．函数取到最小值时,实数x的取值范围是．

10．已知,则的最大值为．

11．已知,记集合,．若,则a的取值范围为．

12．已知,．函数的图像是一个中心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为,,…,（为正整数）,则．注：．

二,选择题（本大题满分18分,前2题每题4分,后2题每题5分,每题有且仅有一个正确选项）

13．在“①难解的题目,②方程在实数集内的解,③直角坐标平面上第四象限内的所有点,④很多多项式”中,能够组成集合的是（???）

A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④

14．已知幂函数是奇函数,且在上是增函数,则满足条件的不同有（???）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

15．已知互不相等的正数a,b,c满足,则下列不等式中可能成立的是（????）．

A． B． C． D．

16．对任意,表示不超过的最大整数,下列性质错误的是（???）

A．存在,使得

B．任意,使得

C．任意,,满足,则

D．任意,,都有

三,解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤.

17．解下列关于的不等式：

(1).

(2)．

18．已知函数是偶函数.

(1)求的值.

(2)若方程有解,求的取值范围.

19．某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示：当中（）的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）,而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为50分钟,试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式,并求出的最小值.

20．问题：正实数a,b满足,求的最小值．其中一种解法是：,当且仅当且时,即且时取等号,故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题：

(1)已知a,b是正实数,且,求的最小值．

(2)①已知实数a,b,x,y,满足,求证．

②求代数式的最小值,并求出使得M最小的m的值．

21．已知函数y=fx的定义域为,现有下面两种对y=fx

变换：,其中．

变换：,其中．

(1)若,,对y=fx进行变换后得到函数y=gx,解方程．

(2)若,对y=fx进行变换后得到函数,解不等式．

(3)若函数y=fx在上是严格增函数,对函数y=fx先作变换,再作变换,得到函数,对函数y=fx先作变换,再作变换,得到函数．对任意,若恒成立,证明：函数y=fx在上是严格增函数.

22．已知函数在R上连续,且恒成立,则在上至少有几个不同的解？

1．

【分析】根据指数运算可得解.

【详解】由指数运算可知,.

所以的四次方根是或.

故答案为：.

2．或

【分析】根据集合的关系,得出或,解出,再根据集合元素的互异性即可判断的取值.

【详解】因为,所以有或两种可能.

若,则有,符合题意.

若,解得或,根据集合元素的互异性,有.

若,则有符合题意.

所以的值为或.

故答案为：或

3．

【分析】根据指数运算及幂函数单调性直接可判断.

【详解】由.

.

且.

又函数在上单调递增.

所以.

即.

故答案为：.

4．

【分析】由,,可得或,解不等式组与方程即可.

【详解】由已知,则,即,解得或.

又,则或,即或,解得.

综上所述或.

故答案为：.

5．

【分析】将问题转化为能够取到所有正数,再讨论的系数,利用判别式可得.

【详解】因为函数的值域是R.

所以能够取到所有正数.

当时,,只能取到1,不符合题意,舍去.

当时,要使能取到所有正数,必有△=,解得.

当时,抛物线的开口向下,不可能取到所有正数,不符合题意.

综上所述:.

故答案为:.

【点睛】本题考查了对数型复合函数的值域,将问题转化为能够取到所有正数,是解题关键,本题属于中档题.

6．3

【分析】分段函数,分段讨论方程解的个数即可.

【详解】当时,方程,即.

,,解得或.

当时,方程,即.

,,解得或.

因为,故此时.

故方程不同解的个数