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a小学数学奥赛7-7-1容斥原理之重叠问题(一).教师版

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7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）

教课目的

认识容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；

掌握容斥原理的在组共计数等各个方面的应用．

知识重点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，常常碰到相关会合元素个数的计算．求两个会归并集的元素的个数，不可以简单地把

两个会合的元素个数相加，而要从两个会合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，

用式子可表示成： AUB A B AIB(此中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或许“或”的意思；符号 “I”

读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包括与清除原理，简称容斥原理．图示以下 :A表示小圆

部分，B表示大圆部分， C表示大圆与小圆的公共部分，记为： AI B，即暗影面积．图示以下 :A表示小圆

部分，B表示大圆部分， C表示大圆与小圆的公共部分，记为： AIB，即暗影面积．

1．先包括—— A B

重叠部分 AIB计算了

2．再清除—— A B AI

把多加了1次的重叠部分

2次，多加了1次；

B

AIB减去．

包括与清除原理告诉我们，要计算两个会合 A、B的并集AUB的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算会合 A、B的元素个数，而后加起来，即先求 A B(意思是把A、B的全部元素都“包括”进

来，加在一同 )；

第二步：从上边的和中减去交集的元素个数，即减去 C AIB(意思是“清除”了重复计算的元素个数 )．

二、三量重叠问题

A类、的元素个数

B类与C类元素个数的总和 A类元素的个数

既是B类又是C类的元素个数 既是A类又是

B类元素个数 C类元素个数 既是A类又是B类

C类的元素个数 同时是A类、B类、C类的元

素个数．用符号表示为：

AUBUC

A B C

AIB

BIC

AIC

AI

BI

C．图示以下：

图中小圆表示 A的元素的个数，中圆表示

大圆表示C的元素的个数．

B的元素的个数，

1．先包括：

重叠部分

A

AI

BCB、BI

C、CI

A重叠了

2次，多加了

1次．

2．再清除：

A

B C

AI

B

BI

C

AIC

重叠部分

AI

BI

C重叠了

3次，可是在进行

A B C

AIB

3．再包括：

BIA

C

AI

B C

C计算时都被减掉了．

AIB BIC AIC

AI

BI

C．

在解答相关包括清除问题时，我们常常利用圆圈图

(韦恩图)来帮助剖析思虑．

例题精讲

两量重叠问题

【例

1】

小明喜爱：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜爱：数学、英语、音乐、陶艺、跳

绳。用圆 A、圆B分别表示小明、小英的喜好，以下图，则图中暗影部分表示 ________。

A B

【考点】两量重叠问题

【难度】1星

【题型】填空

【重点词】希望杯，四年级，二试，第

3题

【分析】暗影部分是两人都喜好的：数学、音乐

【答案】数学、音乐

【例2】

四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：

18；当从右向左报数时，小华报：13.

那么该班有学生______________名。

【考点】两量重叠问题

【难度】1星

【题型】填空

【重点词】希望杯，四年级，二试，第

2题

【分析】该班学生人数为：18

131

30（名）。

【答案】

30名

【例3】

实验小学四年级二班，

参加语文兴趣小组的有

28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小

组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

A C B

【考点】两量重叠问题

【难度】1星

【题型】解答

【分析】以下图，A圆表示参加语文兴趣小组的人，

B圆表示参加数学兴趣小组的人，

A与B重合的部分

C(暗影部分)表示同时参加两个小组的人．图中

A圆不含暗影的部分表示只参加语文兴趣小组未参

加数学兴趣小组的人，有

28

12

16(人)；图中B圆不含暗影的部分表示只参加数学兴趣小组未参

加语文兴趣小组的人，有

29

12

17

(人)．