重庆市部分学校2025届度高三上学期12月月考数学试题.docx

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重庆市部分学校2025届度高三上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（????）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则（????）

A． B． C． D．

3．已知正方形的边长为1，设点M、N满足，.若，则的最小值为（????）

A．2 B．1 C． D．

4．若，则的值为（????）

A． B． C． D．

5．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（????）

A． B． C．15 D．20

6．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数在区间上单调递减，则m的最小值为（????）

A． B． C． D．

7．在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列中，最大项和最小项分别为（????）

A． B．

C． D．

8．已知函数满足，当时，，则（????）

A．为奇函数 B．若，则

C．若，则 D．若，则

二、多选题

9．已知在一次数学测验中，某校1000学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：①；②；③（????）

A．标准差为100

B．及格率超过

C．得分在内的人数约为997

D．得分低于80的人数和优秀的人数大致相等

10．已知函数的极大值点为，则（????）

A．

B．

C．若，则

D．若，则

11．如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（????）

A．存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形

B．当时，三棱锥体积为

C．当时，三棱锥的外接球表面积为

D．当时，直线与平面所成的角的正弦值为

三、填空题

12．若曲线与有一条斜率为2的公切线，则.

13．在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为.

14．已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为.

四、解答题

15．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上.

??

(1)求椭圆的标准方程；

(2)经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程.

16．在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.

(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；

(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.

17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求A取值的范围；

(2)若，求周长的最大值；

(3)若，求的面积．

18．如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.

??

(1)求证：；

(2)若底面，且，直线与平面所成角为.

（i）确定点的位置，并说明理由；

（ii）求线段的长.

19．已知数列的前n项和．若，且数列满足．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求证：数列的前n项和；

(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

C

D

C

D

B

C

CD

ABD

题号

11

答案

BD

1．C

【分析】解出集合后再求交集即可.

【详解】由，解得，所以，

由，解得，所以，，

故选：C．

2．A

【分析】设，，根据复数相等列方程求解可得结果．

【详解】设，

由得

所以，解得

∴．

故选：A．

3．C

【解析】建立坐标系，求出，，，的坐标，求出，可得，结合二次函数的性质