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广东省中山市第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.下列关于空间向量的说法中正确的是(????)
A.方向相反的两个向量是相反向量
B.空间中任意两个单位向量必相等
C.若向量满足,则
D.相等向量其方向必相同
2.如图,空间四边形中,,,,点在线段上,且,点为的中点,则(????)
??
A. B.
C. D.
3.直线和直线,则“”是“”的(????)
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知直线l的方向向量为,点在直线l上,则点到直线l的距离为(????)
A. B. C. D.
5.设是椭圆的离心率,且,则实数的取值范围是(????)
A. B. C. D.
6.2023年3月27日,贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛,被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2所示,篮球的外轮形状为圆O,将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,,视AD所在直线为x轴,则双曲线的方程为(????)
A. B. C. D.
7.已知直线,若无论取何值,直线与圆恒有公共点,则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
8.已知直线与,过点的直线被截得的线段恰好被点平分,则这三条直线围成的三角形面积为(????)
A. B. C.8 D.
二、多选题
9.下列有关数列的说法正确的是(????)
A.数列与数列是同一个数列
B.数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C.在数列中,第8个数是
D.数列3,5,9,17,33,…的通项公式为
10.如图,在三棱柱中,M,N分别是线段上的点,且.设,且均为单位向量,若,则下列说法中正确的是(????)
??
A.与的夹角为 B.
C. D.
11.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于A,B两点,其中点在第一象限.若动点在的准线上,则(???)
A.的最小值为0
B.当为等腰三角形时,点的纵坐标的最大值为
C.当的重心在轴上时,的面积为
D.当为钝角三角形时,点的纵坐标的取值范围为
三、填空题
12.已知过点和的直线与斜率为的直线平行,则的值为.
13.若圆与圆只有唯一的公共点,则.
14.已知四棱柱的底面为菱形,底面,,,,点是线段上靠近的四等分点,动点在四棱柱的表面,且,则动点的轨迹长度为.
四、解答题
15.已知数列的前n项和为
(1)当取最小值时,求n的值;
(2)求出的通项公式.
16.已知圆.
(1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程;
(2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度.
17.如图所示,四边形是边长为3的正方形,平面,,,与平面所成角为60°.
??
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)若点M在线段上,且,平面,求出M点的坐标.
18.已知椭圆的长轴长为,该椭圆上的点与左焦点间的距离的最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l与椭圆C交于两点,M为线段的中点,O为原点,射线与椭圆C交于点N,且,记的面积分别为,求的取值范围.
19.已知平面上的线段及点,任取上一点,线段长度的最小值称为点到线段的距离,记作.
(1)求点到线段的距离;
(2)设是长为的线段,求点的集合所表示的图形的面积为多少?
(3)求到两条线段、距离相等的点的集合,并在直角坐标系中作出相应的轨迹.其中,,,,,.
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参考答案:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
D
B
A
D
A
BCD
BD
题号
11
答案
AC
1.D
【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】相反向量指的是长度相等,方向相反的向量,故A错误;
单位向量指的是模为1的向量,方向未定,故B错误;
向量不能比较大小,故C错误;
相等向量其方向必相同,故D正确;
故选:D.
2.A
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】由题可知,
故选:A
3.B
【分析】求出两直线垂直时参数值,再根据充分必要条件的定义判断.
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