《电磁场与电磁波 》课件001.ppt

第1章矢量分析与场论

1.1矢量及其代数运算

1.2圆柱坐标系和球坐标系

1.3矢量场

1.4标量场

1.5亥姆霍兹定理

习题

1.1矢量及其代数运算

1.1.1标量和矢量

电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量

（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物

理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。

实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为

矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢A可

以表示成：

A=aA(1-1-1)

A

其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=，

A

其大小等于1。

一个大小为零的矢量称为空矢(NullVector)或零矢(Zero

Vector)，一个大小为1的矢量称为单位矢量(UnitVector)。在直

角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、z轴

分量的方向。

空间中的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上

的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向点P的矢量r称

为位置矢量(PositionVector)，它在直角坐标系中表示为

r=axX+ayY+azZ(1-1-2)

式中，X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。

图1-1直角坐标系中一点的投影

任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。

例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az，

利用三个单位矢量ax、ay、az可以将矢量A表示成：

A=axAx+ayAy+azAz(1-1-3)

矢量A的大小为A：

2221/2

A(AxAyAz)(1-1-4)

1.1.2矢量的代数运算

1.矢量的加法和减法

任意两个矢量A与B相加等于两个矢量对应分量相加，它们

的和仍然为矢量，即

C=A+B=ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz)(1-1-5)

任意两个矢量A与B的差等于将其中的一个矢量变号后再相

加，即

D=A－B=A+(－B)

=ax(Ax－Bx)+ay(Ay－By)+az(Az－Bz)

(1-1-6)

2.矢量的乘积

矢量的乘积包括标量积和矢量积。

1)标量积

任意两个矢量A与B的标量积(ScalarProduct)是一个标量，

它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图1-2所示，

记为

A·B=ABcosθ(1-1-7)

标量积也称为点积(DotProduct)，如果两个不为零的矢量的

标量积等于零，则这两个矢量必然相互垂直，或者说两个互相

垂直的矢量的点积一定为零，而两个相互平行的单位矢量的点

积等于1。

图1-2标量积的图示

例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：

a·a=a·a=a·a=0

xyyzzx(1-1-8)