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专题10反比例函数
1.反比例函数的定义
如果两个变量x,y之间的关系可以表示成(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.
2.反比例函数的图象和性质
(1)图象的特征:反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
(2)反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质:
函数
图象
所在象限
性质
(k≠0,k为常数)
k0
三象限
(x,y同号)
在每个象限内,y随x增大而减小
k0
四象限
(x,y异号)
在每个象限内,y随x增大而增大
3.反比例函数的解析式的确定
求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法.
【考点1】反比例函数图象与性质
【例1】(反比例函数的图象)如图,函数与y=﹣kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是()
A. B.
C. D.
【例2】(反比例函数的图象性质)(2021·山西)已知反比例函数,则下列描述不正确的是()
A.图象位于第一,第三象限 B.图象必经过点
C.图象不可能与坐标轴相交 D.随的增大而减小
(1)当k0时,函数图象的两个分支分别在第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小;
(2)当k0时,函数图象的两个分支分别在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.
1.(2022·湖南)在同一平面直角坐标系中,函数和的图像大致是(?????)
A.B.C.D.
2.(2021·黑龙江大庆市)已知反比例函数,当时,随的增大而减小,那么一次的数的图像经过第()
A.一,二,三象限 B.一,二,四象限
C.一,三,四象限 D.二,三,四象限
3.(2022·湖北荆州)如图是同一直角坐标系中函数和的图象.观察图象可得不等式的解集为(???????)
A. B.或 C.或 D.或
4.(2022·广东)点,,,在反比例函数图象上,则,,,中最小的是(???????)
A. B. C. D.
5.(2021·陕西)若,是反比例函数图象上的两点,则、的大小关系是______(填“”、“=”或“”)
【考点2】确定反比例关系式
【例3】(求解析式)(2022·江苏常州)某城市市区人口万人,市区绿地面积50万平方米,平均每人拥有绿地平方米,则与之间的函数表达式为(???????)
A. B. C. D.
【例4】(系数k)(2022·黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上,顶点A在反比例函数的图象上,顶点D在x轴的负半轴上.若平行四边形OBAD的面积是5,则k的值是(???????)
A.2 B.1 C. D.
求函数解析式关键在于掌握利用待定系数法求函数的解析式。即解设求该函数解析式为(k≠0,k为常数),再将函数上一个点坐标代入即可解得。
反比例函数(k≠0)系数k的几何意义:从反比例函数(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图:
1.(2022·湖北十堰)如图,正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上.若轴,点的横坐标为3,则(???????)
A.36 B.18 C.12 D.9
2.(2022·辽宁)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的边OB在y轴上,边AB与x轴交于点D,且BD=AD,反比例函数y=(x0)的图像经过点A,若S△OAB=1,则k的值为___________.
3.(2021·内蒙古呼和浩特市)正比例函数与反比例函数的图象交于A,B两点,若A点坐标为,则__________.
4.(2022·贵州铜仁)如图,点A、B在反比例函数的图象上,轴,垂足为D,.若四边形间面积为6,,则k的值为_______.
5.(2022·贵州遵义)反比例函数与一次函数交于点,则的值为__________.
6.(2022·湖北武汉)在反比例的图象的每一支上,y都随x的增大而减小,且整式是一个完全平方式,则该反比例函数的解析式为___________.
7.已知y=y1﹣y2,y1与x成反比例,y2与x﹣2成正比例,并且当x=3时,y=5;当x=1时,y=﹣1.
(1)y与x的函数表达式;
(2)当x=﹣1时,求y的值.
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