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力学中的作业题集锦

作业一：动力学问题

已知一个质点质量为m，在水平地面上沿着x轴正方向运动，初始

速度为v0。质点受到一个沿着x轴反向的恒力F，其大小随时间变化

满足F=kx^2。

问题1：求质点在t时刻的速度v(t)。

问题2：求质点在t时刻的位移x(t)。

解答：

问题1：

根据牛顿第二定律，质点的加速度a与作用力F的关系为F=ma。

由于质点的质量为m，所以可以将第二定律改写为F/m=a。将已知的

F=kx^2代入，得到a=kx^2/m。

质点的速度v与加速度a的关系为v=∫adt，即v(t)=∫(kx^2/m)dt。

在t时刻，积分上限为t，下限为0。带入上述表达式，得到v(t)=

∫[0,t](kx^2/m)dt。

对上述积分进行计算，得到v(t)=(k/m)∫[0,t]x^2dt。

问题2：

质点的位移x与速度v的关系为x=∫vdt，即x(t)=∫v(t)dt。

根据问题1的解答，已知v(t)=(k/m)∫[0,t]x^2dt。

在t时刻，积分上限为t，下限为0。带入上述表达式，得到x(t)=

∫[0,t][(k/m)∫[0,t]x^2dt]dt。

我们可以通过数值方法或者近似方法求解这个积分方程，进而得到

x(t)的具体表达式。

作业二：动量和动能问题

已知一个质点质量为m1，初速度为v1，与一个静止质点碰撞后，

两个质点合成一个质量为m2的质点。

问题1：求碰撞后合成质点的速度v2。

问题2：求合成质点的动能增量ΔKE。

解答：

问题1：

根据质心守恒定律，两个质点在碰撞前后质心的动量保持不变，即

m1v1=m2v2。

根据动量守恒定律，碰撞前后系统的总动量保持不变，即m1v1+0

=m2v2。

由上述两个等式可得，v2=(m1v1)/m2。

问题2：

合成质点的动能可表示为KE=1/2mv^2，其中m为合成质点的质

量，v为其速度。

碰撞前质点1的动能为KE1=1/2m1v1^2，碰撞前静止质点2的动

能为KE2=0。

碰撞后合成质点的动能为KE=1/2m2v2^2。

动能增量ΔKE=KE-KE1-KE2=1/2m2v2^2-1/2m1v1^2。

通过将问题1的结果代入上述表达式，可以求得ΔKE的具体数值。

作业三：重力和摩擦力问题

问题描述：

一个质量为m的物体放在一个有摩擦力的斜面上，斜面的倾角为θ。

物体受到斜面的重力和摩擦力的合力，其大小为F。

问题1：求物体在斜面上的加速度a。

问题2：求物体在斜面上的位移s。

解答：

问题1：

物体在斜面上的合力F=mg*sin(θ)-μmg*cos(θ)，其中g为重力加

速度，μ为动摩擦系数。

根据牛顿第二定律，物体在斜面上的加速度a与合力F的关系为F

=ma。将已知的F=mg*sin(θ)-μmg*cos(θ)代入，得到mg*sin(θ)-

μmg*cos(θ)=ma。

整理上述等式，得到a=g*(sin(θ)-μ*cos(θ))。

问题2：

质点的位移s与加速度a的关系为s=1/2*a*t^2，其中t为时间。

物体在斜面上的运动过程可以看成自由下落，所以可以将其看成从

静止到速度为v的自由下落过程。根据自由下落的加速度公式a=

g*sin(θ)，可以得到t=√(2s/(g*sin(θ))。

将问题1的结果代入s=1/2*a*t^2，可以求得位移s的具体数值。

通过解答以上作业题集，我们能更好地理解和应用力学中的概念和

原理，提升解决实际问题的能力。