《电磁场与电磁波 》课件第1章.pptVIP

（3）从旋度公式可以看出，矢量场F的x分量Fx只对y、z求偏导数，Fy和Fz也类似地只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律；对比散度公式，场分量Fx、Fy、Fz分别对x、y、z求偏导数，散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。5.旋度的基本运算公式旋度的基本运算公式如下：（C为常矢量）（1-76）（C为常数）（1-77）（1-78）（u为标量函数）（1-79）（1-80）6．斯托克斯（Stokes）定理对于矢量场F所在的空间中任一个以l为周界的曲面S，矢量场F的切向分量沿l的线积分等于矢量场F旋度的法向分量在S上的面积分，即（1-81）式（1-81）称为斯托克斯定理，其中，S的形状不限，只需以l为界，且S的法向分量与l的环绕方向满足右手法则，如图1-29所示。斯托克斯定理的意义是：任意矢量场F的旋度沿场中任意一个以l为周界的曲面的面积分，等于矢量场F沿此周界l的线积分。换句话说，▽×F在任意曲面S的通量等于F沿该曲面的周界l的环量。同高斯散度定理一样，斯托克斯定理表示的积分变换关系在电磁场理论中也是经常要用到的。图1-29斯托克斯定理的证明【例1-13】矢量场F=-exy+eyx，试求它沿图1-30中的闭合曲线l上的环量并验证斯托克斯定理。l的参量方程是这是一条星形线。图1-30例1-13用图解由矢量线方程 ，可解得（C为任意常数）由此可以看出，矢量线是一族以坐标原点为中心的平面圆。（1）用公式计算F的环量：由闭合曲线l的参量方程得沿曲线l一周即参变量６００３２２从0变到2π（弧度），可得（2）用公式∮(▽×F)·dS计算▽×F的通量：由于因此由l的参量方程可得 。由于对称关系，上述以l为周界的面积分值等于第一象限中的4倍，因此-利用参量方程代换积分元，即因为当x=0时，；当x=a时，θ=0，所以即这样就验证了斯托克斯定理。1.3.5拉普拉斯算子前面讲到的都是一阶微分算子，在场论中经常用到二阶微分算子，即拉普拉斯算子，用符号▽2表示。它可用标量函数梯度的散度定义。如果u(x,y,z)是连续可微的标量函数，则u(x,y,z)的拉普拉斯表达式为（1-82）在直角坐标系下（1-83）即（1-84）式（1-84）显示了标量函数的拉普拉斯表达式是一个标量，它涉及函数的二阶偏微分。经过变换，可以得到标量函数在圆柱坐标系下的拉普拉斯表达式，即（1-85）用同样方法可得球坐标系下的拉普拉斯表达式，即（1-86）由于无旋场，因此，或写成（1-87）式(1-87)可分为以下两种情况讨论：（1）▽·F≠0，即已知矢量场F的散度源时，式（1-87）称为标量位函数的泊松（Poisson）方程。(2)▽·F=0，即在所讨论的区域内，矢量场F无散度源时，式（1-87）称为标量位函数的拉普拉斯方程。由于此时▽·F=0且▽×F=0，即在所讨论的区域内，矢量场是无源无旋的，这种矢量场称为调和场，调和场的标量位函数￠满足其拉普拉斯方程，称为调和函数。1.3.6亥姆霍兹定理1．两个零恒等式1）恒等式Ⅰ与无旋场梯度矢量的一个重要性质就是：任何标量场的梯度的旋度恒等于零，即在直角坐标系中，证明如下：=0恒等式Ⅰ的逆定理也成立，即如果一个矢量的旋度为零，则该矢量可以表示为一个标量场的梯度。将逆定理应用于电磁场理论中时，可以引入辅助位函数，以方便求解场矢量。例如静电场，因▽×E=0，可引入标量电位函数￠，令（1-89）式中负号表明E矢量沿￠减小的方向。如果在矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，即▽×F=0，则这种场不可能存在涡旋源，因而称之为无旋场。无旋场同时也是位场、保守场。因无旋场中，F=▽u，由斯托克斯定理可得（1-90）可见场力F沿闭合曲线路径作功等于零，场能无变化，故称保守场。2）恒等式Ⅱ与无散场旋度的一个重要性质是：任何矢量场的旋度的散度恒等于零，即（1-91）在直角坐标系中，证明如下：恒等式Ⅱ的逆定理：如果一个矢量场的散度为零，则它可表示为另一个矢量的旋度。该定理应用于电磁场研究时，可引入辅助矢量位，有利于场矢量的求解。例如恒定磁场▽·B=0，可引入矢量磁位A，令（1-92）如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，即▽·F=0，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无散场或无源场