专题06 指数与指数函数-2025年高考数学二轮复习考点突破(解析).docx

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专题06指数与指数函数5题型分类

1、指数及指数运算

（1）根式的定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．

（2）根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.

（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.

（4）有理数指数幂的分类

①正整数指数幂；②零指数幂；

③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．

（5）有理数指数幂的性质

①，，；②，，；

③，，；④，，．

2、指数函数

图象

性质

①定义域，值域

②，即时，，图象都经过点

③，即时，等于底数

④在定义域上是单调减函数

在定义域上是单调增函数

⑤时，；时，

时，；时，

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

（一）

指数运算及指数方程、指数不等式

利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型1：指数运算及指数方程、指数不等式

1-1．（2024高三下·湖南·阶段练习）（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.

【详解】.

故选：B.

1-2．（2024高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（?????）

A．设则 B．若，则

C．若，则 D．

【答案】B

【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误．

【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；

对于B，，故，选项B正确；

对于C，，，因为，所以，选项C错误；

对于D，，选项D错误.

故选：B．

1-3．（2024高一上·山西晋城·期中）（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可.

【详解】.

故选：B

1-4．（2024·江西）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案

【详解】解：由题意得，

所以，解得a=.

故选：A

【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题

1-5．（2024·陕西榆林·一模）已知函数，若，则实数（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出，从而，对，讨论，分别代入分段函数即可求出实数的值．

【详解】∵函数，

，

，

，

当时，，

方程无解，即满足条件的不存在，

当时，，解得．

∴．

故选：A．

（二）

指数函数的图像及性质

1.函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

2.解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

题型2：求指数函数的定义域、值域

2-1．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）函数的定义域为．

【答案】

【分析】根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】对于函数，有，解得且.

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

2-2．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）函数的值域为．

【答案】．

【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.

【详解】设，则，

换元得，

显然当时，函数取到最小值，

所以函数的值域为．

故答案为：.

2-3．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是．

【答案】[-1，0]

【分析】把f（x）的定义域为R转化为0对任意x∈R恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，再由判别式小于等于0求解．

【详解】∵f（x）的定义域为R，

∴0对任意x∈R恒成立，

即恒成立，

即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，

∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．

故答案为[﹣1，