数学知识导航第三章可线性化的回归分析.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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1.3可线性化的回归分析

自主整理

1。在具体问题中，我们首先应该作出原始数据(x，y）的________________，从_____________中看出数据的大致规律，再根据这个规律选择适当的参数进行拟合。

2.对于非线性回归模型一般可转化为_________________，从而得到相应的回归方程。

高手笔记

1.幂函数曲线y=axb.作变换μ=lny，v=lnxc=lna，得线性函数μ=c+bv。

2.指数曲线y=aebx。作变换μ=lny，c=lna，得线性函数μ=c+bx.

3。倒指数曲线y=aebx.作变换μ=lny,c=lna，v=，得线性函数μ=c+bv。

4.对数函数y=a+blnx.作变换v=lnx,得线性函数y=a+bv.

名师解惑

如何根据原始数据求拟合函数?

剖析：(1）可先由原始数据作散点图.

（2）对于一些函数模型的图形要熟悉.

如：①幂函数y=axb型的图象为:

②指数曲线y=aebx

(3)倒指数曲线y=aebx

(4）对数曲线y=a+blnx

（3）由散点图找出拟合函数的类型。

（4）将非线性函数转化为线性函数。

(5）求出回归方程。

讲练互动

【例1】某地今年上半年患某种传染病人数y与月份x之间满足函数关系模型为y=aebx，确定这个函数解析式.

月份x

1

2

3

4

5

6

人数y

52

61

68

74

78

83

分析:函数模型为指数型函数，可转化为线性函数，从而求出.

解：设μ=lny,c=lna，则μ=c+bx。

由已知

X

1

2

3

4

5

6

μ=lny

3.95

4。11

4。22

4.304

4.3567

4.4188

=21，=25.3595，2=91，2=107.334，=90.3413，=3.5，=4.22658，

b===0.09，

c=-b=4。22658—0.09×3。5=3.91158，

∴μ=3.91158+0。09x。

∴y=e3。91158·e0。09x.

绿色通道：基础模型为指数型，可两边取对数转化为线性函数关系,求出回归方程.。

变式训练

1。某工厂今年第一季度生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件，为了估测以后每个月的产量，可用函数y=aebx来模拟该产品的月产量y与月份x的关系,求模拟函数。

解：设μ=lny，c=lna，则μ=c+bx。

月份x

1

2

3

4

产量y

1

1。2

1.3

1。37

x

1

2

3

4

μ

0

0.1823

0。2624

0.3148

=10，=0。7595，2=30,2=0。2012,

μi=2。411，=2。5，=0。1899，

b====0。10245，

c=—b=0.1899—0.10245×2.5=-0.066,

∴μ=-0.066+0。10245x.

y=e—0。066·e0.10245x。

【例2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:

身高x/cm

60

70

80

90

100

110

体重y/kg

6.13

7。90

9。99

12.15

15.02

17。50

身高x/cm

120

130

140

150

160

170

体重y/kg

20.92

26。86

31.11

38.85

47.25

55。05

（1）画出散点图。

（2)能否建立恰当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。

(3）若体重超过相同身高男性体重平均值的1。2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?

解：（1)作散点图.

（2）从散点图可看出函数模型为y=aebx型.

设μ=lny，c=lna,则μ=c+bx。

x

60

70

80

90

100

110

μ

1。813

2。067

2.3016

2.497

2。7094

2。862

x

120

130

140

150

160

170

μ

3.041

3.2906

3.4375

3。6597

3.8554

4.0082

xi=1380,μi=35。5424，xi2=173000,xiμi=4369。249,

=115，=2。9619,b=

=0.0197,c=-b=2。9619—0。0197×115=0.6964，

∴μ=0.6964+0。0197x,y=e0.6964·e0。0197x。

当x=175时,μ=4。1439，