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学必求其心得，业必贵于专精

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3.2分析法

自主整理

从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的______________，直到归结为这个命题的______________或归结为______________、______________、______________等,我们把这种思维方法称为______________.

高手笔记

1.分析法的思考过程为“执果索因”的顺序,是从求证的结论出发，步步探索结论成立的条件.

2。对于命题“若P则Q的分析法证明可用框图表示为

名师解惑

分析法的解释

剖析：分析法是从要证的结论入手，分析结论成立的一个充分条件,步骤书写较为繁杂，但入手点较低，易找出问题的突破口。

用分析法思考数学问题的顺序可理解为(对于命题“若A则D”)

分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻其论据,如C,C1，C2等，再寻求C,C1，C2的论据,如B,B1,B2，B3，B4等等，继而寻求B,B1,B2,B3，B4的论据，如果其中之一B的论据恰好为已知条件,于是命题得证。

在分析法中，就应当用假设的语气，习惯上常用这样一类语句:假如要A成立，就必须先有B成立；如果要有B成立,又只需有C成立……从结论一直推到已知条件。当我们应用分析法时,所有各个中间的辅助命题,仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的,而并不是确信它们都是真实的，直至达到最后已知条件或明显成立的事实后,我们才确信它是真实的,从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的,于是命题就被证明了.

讲练互动

【例1】求证：+22+。

分析：可以采用分析法,逐步化简转化求使得结论成立的充分条件。

证法一：为了证明+2〈2+,

∵+2〉0,2+〉0,

∴只需证明(+2)2〈（2+)2，

展开,得11+411+4，

只需证4〈4，只需证67.显然6〈7成立。

∴+2成立。

证法二：为了证明+2〈2+,只要证明2—2-,

只要证明〈

∵2〉2,,∴2+2+0.

∴〈成立.∴+22+成立.

绿色通道

在不等式证明中直接证不易证的情况下，可通过分析法，逐步探索不等式成立的条件.

变式训练

1。求证:。

证明：要证—-,只需证++。

∵+0，+〉0,只需证(+)2(+）2，即9+9+，

只需证，只需证14〈18.显然14〈18成立.

∴-—成立.

【例2】已知a、b∈R+。求证：+≥+.

分析：本题左边结构为分式结构，并且左、右都含有根号，从形式上看不易找到关系,可用分析法将要证的不等式变形一下就可证明。

证明：要证+≥+,

只需证a+b≥(+）,

即证a(-）+b（—)≥0。

只需证(a-b）(-）≥0，

即(-)2(+)≥0。

∵+〉0,（—)2≥0,

∴(—）2（+)≥0成立.

∴+≥+成立.

绿色通道

在不等式较复杂无从入手的情况下，可用分析法分析不等式成立所具备的条件。

变式训练

2.设a、b∈R+,且a≠b。

求证:a3+b3a2b+ab2。

证明：要证a3+b3〉a2b+ab2成立,只需证a3—a2b+b3—ab2〉0,即a2（a—b）+b2（b-a）〉0成立.

即证(a-b)2(a+b）〉0成立.

∵a、b∈R+，∴a+b〉0.又∵a≠b，∴(a—b)20。

∴(a—b)2(a+b)〉0成立.

∴a3+b3〉a2b+ab2成立。

【例3】已知ab〉0，求证：〈.

分析：本题条件较为简单,结论比较复杂，看上去无从入手解答问题,所以我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件,即用分析法.

证明：要证—〈成立，

即（—)2〈成立。

∵ab0,只需证—成立，

只需证〈1成立。

只需证+〈2且2+，

即成立.

∵a〉b〉0，∴〉成立。

∴〈—成立。

绿色通道

在已知条件较为简单,所要证的问题较为复杂时，我们可从结论入手逆推，执果索因,找到结论成立的条件。注明必要的文字说明，注意不等式的结构特点。

变式训练

3。设a0,b0,2c〉a+b。

求证：c-ac+.

证明：要证cac+，只需证a-c,

即证｜a-c｜c2-ab，只需证(a—c)2〈c2—ab，即a2-2ac—ab，即a(a+b-2c）0。

∵a〉0,a+b〈2c，

∴a〉0，a+b—2c〈0。

∴a（a+b—2c）0成立.

∴ca〈c+成立.

【例4】设x0,y0，且x≠y.求证:〈.

分析:注意到x、y的对称性,可能会想到重要不等式，但后续思路不好展开.可采用分析法,从消去分数指数幂入手.

解：要证,

只需证（x3+y3)2（x2+y2)3,

即x6+y6+2x3y3〈x6+y6+3x4y2+3x2y4,

只需证2x3y33x2y2(x2+y2）。

∵x