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四川省眉山市仁寿第一中学校北校区2023年数学高二上期末综合测试试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点中心（，）

C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

2．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为

A. B.

C. D.

3．如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（）

A. B.

C. D.

4．下列结论中正确的有（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

5．下列命题正确的是（）

A经过三点确定一个平面

B.经过一条直线和一个点确定一个平面

C.四边形确定一个平面

D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

6．设，“命题”是“命题”的（）

A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7．已知函数，则下列说法正确的是（）

A.的最小正周期为 B.的图象关于直线

C.的一个零点为 D.在区间的最小值为1

8．如图，是函数的部分图象，且关于直线对称，则（）

A. B.

C. D.

9．设太阳光线垂直于平面，在阳光下任意转动棱长为一个单位的立方体，则它在平面上的投影面积的最大值是（）

A.1 B.

C. D.

10．若直线的斜率为，则的倾斜角为（）

A. B.

C. D.

11．已知抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（）

A. B.

C D.

12．已知数列的通项公式是，则（）

A10100 B.-10100

C.5052 D.-5052

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，则的值是______.

14．设、为正数，若，则的最小值是______，此时______.

15．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______

16．数列满足，则_______________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，C上的点M满足，且直线的斜率之积等于

（1）求C的方程；

（2）过点的直线l交C于A，B两点，若，其中，证明：

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，为棱的中点，，，求二面角的余弦值

19．（12分）已知椭圆C：的焦距为，点在C上

（1）求C的方程；

（2）过点的直线与C交于M，N两点，点R是直线：上任意一点，设直线RM，RQ，RN的斜率分别为，，，若，，成等差数列，求的方程.

20．（12分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.军营所在区域可表示为.

（1）求“将军饮马”的最短总路程；

（2）因军情紧急，将军来不及饮马，直接从A点沿倾斜角为45°的直线路径火速回营，已知回营路径与军营边界的交点为M，N，军营中心与M，N连线的斜率分别为，，试求的值.

21．（12分）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由

22．（10分）已知函数

（Ⅰ）若的图象在点处的切线与轴负半轴有公共点，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，求的最值

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则

=0.8