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PARTI力学根底知识

█Unit1力系的一般平衡条件

在这一节，我们将研究为了使一个物体保持平衡，作用在其上的力和力偶所必须满足的条件。

根据牛顿第一定律，施加在一个静止物体上的力系的合力一定为零。然而，请注意这个定律对力矩或力系的转动效应只字未提。显然，合力矩也一定为零，否那么物体将会转动。

这里的根本问题是，按照先前的规定，牛顿第一定律〔和第二定律〕只适用于非常小的物体，或者尺寸可以忽略的非零质量的质点。然而，它可以推广到下述有限尺寸的物体。

考虑一个由两个质点组成的系统，并假设和是由于它们之间相互作用产生的力(图.1.1)。这些力称为内力，因为它们是由于系统内部的物体之间的相互作用而产生的。假定内力服从牛顿第三定律，我们有。假设还有质点与系统外物体相互作用产生的力施加在质点上，如和，这些力称为外力。显然，作用在某个特定质点上的力一定有相同的作用点，因为质点的尺寸可以忽略。

如果系统内的每一个质点处于平衡，我们就可以说系统是平衡的。这种情况下，依据牛顿第一定律，作用在每个质点上的力的合力一定为零。对质点A我们有：

而对质点B有：

作用在系统上的力的总和为：

现在让我们来研究这些力对于某一点P的合力矩。参照图1.1，我们有：

其中；如前所述，那么合力矩也一定为零。

由于力和有相同的作用线，力矩的平衡条件可以改写为：

其中；因此力和力矩的平衡条件就简化为：

和

换句话说，如果系统处于平衡，那么作用在上面的外力和一定为零，并且这些外力对任一点的合力矩也一样为零。内力不需要考虑，因为它们的效应相互抵消了。

然而，我们不应该仔细关注其中的细节，对于许多外力作用下的由许多质点组成的系统，我们应该并不太难就得到上述结论，条件是内力服从牛顿第三定律。特别的这些结论也适用于有限尺寸的物体，因为这样的物体可以被认为是由大量微体或质点组成的。因此我们得到了以下一般平衡条件：

如果一个系统处于平衡，那么and(1.1)

这里是作用在系统上的所有外力的总和，而是这些外力对某个任意点的合力矩，也包括某些可能作用在系统上的力偶的矩。

方程〔1.1〕是平衡的必要条件；即，如果系统处于平衡，这些方程必须被满足。通常，它们不是平衡的充分条件；满足这些方程并不必然的保证系统会处于平衡。然而，这并不会带来任何困难，因为我们要处理的只涉及的平衡系统。对于刚体的平衡，方程〔1.1〕既是必要条件也是充分条件。证明他们是充分的需要应用牛顿第二定律和其它超出本课文水平的知识。

重要的是需要注意到方程〔1.1〕适用于任何平衡系统，而不管组成该系统的材料是什么。例如，方程适用于大量静止的流体，同样也适用于固体。它们也适用于特定条件下的运动系统，因为它们是建立在牛顿第一定律的根底上，而牛顿第一定律既适用于匀速运动的质点，也适用于静止的质点。例如，方程〔1.1〕适用于没有转动的匀速直线运动的物体，也适用于以通过质心的固定轴为轴线做匀速转动的物体。典型的例子有做水平匀速直线飞行的飞机和匀速转动的电动机皮带轮。然而，无论涉及哪种运动，这些问题一般都被归类为动力学教材。

当以分力的形式表示时，方程〔1.1〕可变形为六个标量方程；

(1.2)

这些方程可以被用来对一个系统进行受力分析，来解决关于外力和外力偶的的未知问题。由于有6个方程，我们通常可以解决含六个未知量的问题。如果通过平衡方程可以解出关于外力和外力偶的所有未知量，我们就说问题是静定的。如果不能，那么称之为超静定的。

当一个问题中出现的未知量个数比平衡方程的个数多时，试着通过考虑多于一个点的转矩来获得额外的方程是很有诱惑力的。遗憾的是，这个方法并没有效果。

█阅读材料1粱的静力分析

一个在通过其轴的横截面上承受作用力的杆被称作梁。在这一节，我们只考虑一些最简单种类表示的那些。在所有的例子中假设梁都有一个对称平面，该对称平面与其自身的轮廓平面平行。因此，梁的横截面有一个竖直方向的对称轴。接着，假设外加载荷作用在对称平面上，因而粱的弯曲也发生在该平面内。然后我们会考虑一种更常见的弯曲，即具有不对称横截面梁的弯曲。

图〔a〕所示一端为固定铰支座而另一端为滚动铰支座的梁，被称为简支梁，或简梁，简支梁主要的特征是粱的两端在其弯曲时都可以自由转动，但他们不能横向〔横截面方向〕移动。另外，简支梁的一端可以在轴向〔水平方向