重庆大学《数值分析》课件-第8章.pdf

第八章数值积分与数值微分

8.1求积公式

8.1.1求积公式

对定义在区间［a,b］上的定积分

b

I[f]f(x)dxF(b)F(a)

a

以上公式多称为牛顿-莱布尼兹公式，F(x)为f(x)的原函数.但

有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难

于求出或计算.如被积函数为:

2sinx

x

e,

x

等函数的积分都无法解决，当被积函数为一组数据时，更是无

能为力.为解决定积分的近似计算,从定积分的定义：

1结束

bn

f(x)dxlimf()x有

nkk

ak1

bn

f(x)dxAf(x)(8.1)

kk

ak1

这样就避开了求原函数的运算.(8.1)式就叫做求积公式，

A(k0,1,…,n)与函数f(x)无关，叫做求积系数,显然要确定一个求

k

积公式，要确定求积结点x和求积系数A，或者说不同的求积

kk

结点和求积系数将确定不同的求积公式.

8.1.2求积公式的余项和代数精度

一般情况下，(8.1)两端并不相等.我们称:

bn

R[f]f(x)dxAf(x)(8.2)

kk

ak1

(8.2)为求积公式(8.1)的余项，或截断误差.

2结束

为考查一个求积公式的误差，通常用代数精度来表示，如果一

个求积公式对于不超过m次的多项式都能够精确成立(R[f]≡0)，

而对m+1次以上的多项式不能精确成立，则称该求积公式的代

数精度为m.1

例如求积公式：141

f(x)dxf(1)f(0)f(1)R[f]

333

1

验证当f(x)xm，m0,1,2,3,4时，是否有R[xm]0

141

f(x)1,左边2右边111

333

22

1(1)141

f(x)x,左边0右边(1)01