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1.2.1Bergeron特征线计算理论

Bergeron特征线计算方法就是利用线路波过程的特征线方程。经过一定的转换，把分布参数的线段等值为电阻性网络。再运用求解电阻性网络的通用方法来计算整个网绘的暂态过程，也可以说Bergeron特征线计算方法是把求解分布参数线路波过程的特性线法和求解集中参数电路暂态过程的梯行法两者结合起来而形成的数值计算方法。因此它首先需要把分布参数线路和集中参数储能元件(L、C)等值成为集中参数的电阻性网络来计算实际电路的波过程[2a1-2a2]。

在求解网络暂态过程时，从计算开始时刻t0起，把时间离散成一系列的时间间隔,一般采用等时间步长。每一步计算时，利用t时刻以前作为历史记录存好的历史状态，计算出这一时步的电压和电流状态，并记录该状态作为历史值，为下一时步计算作准备。

在讨论运特特征线方法数值求解线路波过程之前。先简要介绍一下特征线方法的根本原理。分布参数线路上任何一点的对地电压和导线中的电流是距离和时间的函数，是电磁波沿线路传播的过程，假设先考虑到线路单位长度的电阻、电感、电导和电容均为常数。和频率无关。

那么单导线线路上的波过程可以用以下的偏微分方程来描述：

假设略去损耗；那么可以有如下的无损线的偏微分方程：

对上述方程组进行求导换算可以得到如下二阶偏微分方程组：

其中

为流动波沿线的传播速度。对无损架空线路等于光速．即电磁波在真空中的传播速度。

以上单根无损线波动方程的电压和电流解可以写成以下形式：

〔1〕

其中和分别代表以速度为沿着正方向传播的前行电压波和电流波，而和分别代表以速度为沿着反方向传播的前行电压波和电流波。前行电压波和前行电流波之间，以及反行电压波与反行电流波之间是通过波阻抗相联系的：

〔2〕

将式〔2〕代入式〔1〕中就可以得到一下两个行波的特征方程：

以上两个特征方程的物理意义可以描述如下：方程式中和分别表示在线路上点在时刻的电压和电流的瞬时值。

对前行波来说，其物理意义为：因为线路均匀无损，所以电磁波沿线略向前传播时不发生畸变和衰减，当观察者沿正方向以速度和前行波一起运动〔即=常数〕，那么根据他所处的位置在时刻观察到的瞬时电压值和电流值所计算得到的的值始终保持不变，等于两倍前行电压波的大小，这种情况从线路始端一直到末端都成立。

对反行波来说，其物理意义为：假设观察者沿反方向以速度和前行波一起运动，那么他在线路上任一点在时刻观察到的的值始终保持不变，等于两倍反行电压波的大小，这种情况从线路始端一直到末端都成立。

根据以上特征方程及其物理概念可以推导出单相无损线波过程计算的等值电路及其相应的计算公式。

单相无损线的波过程计算的等值电路如下所示：

设一线路两端节点分别为和，其电压，电流为Uk(t)、Ikm(t)、Um(t)、Imk(t)，如图1所示：

图1

根据特征方程的物理概念，假设观察者在时刻从节点出发，那么时刻到达节点，由前行特性方程：

可得：

同时设：

〔3〕

可简化为：〔4〕

根据上式可以得到如图2所示的线路末端在时刻的等值计算电路，而公式〔3〕和〔4〕就是相应的计算公式，其中是阻值等于线路波阻抗的电阻，是等值电流源，他可以根据过去观察的记录，即线路始端在时刻的电压和电流计算得到。

图2

同样，观察者可以随反行波从末瑞节点运动到始端节点，得到公式：

〔5〕

由公式〔5〕可以得到图：

图3

综上，推广到整个线路，整个分布参数线路的等值计算电路中只包括集中参数电阻〔阻值等于线路波阻抗〕和等值电流源〔其值由线路两端点上的电压和电流在过去的历史记录中计算得出〕，属于集中参数电路。在等值计算电路中线路两侧节点和是独立分开的，拓扑上没有直接联系〔两端点之间互相的电磁联系上通过反映历史记录的电流源来实现的〕，这给编程求解电路带来方便。