浙江省杭州第二中学2024届高三下学期期中考试数学试题.docx

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浙江省杭州第二中学2024届高三下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，（????）

A． B．

C． D．

2．已知复数，则（）

A．2 B．1 C． D．

3．离散型随机变量服从二项分布，且，，则的值为（????）

A． B． C． D．

4．若正数，满足：，则的最大值为（????）

A． B． C． D．2

5．为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（????）（参考数据：，）

A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年

6．函数的减区间为（????）

A． B． C． D．0,+∞

7．已知数列满足，则（????）

A． B． C． D．

8．已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知向量，，已知，则下列结论正确的有（????）

A． B．若，则

C．的最大值为2 D．的最小值为

10．关于空间向量，以下说法正确的是（????）

A．若空间向量，，则在上的投影向量为

B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角

D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则

11．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（????）

A．的图象关于点对称

B．将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称

C．在上的值域为

D．在上单调递增

12．有一组样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（????）

A．若的平均数是，则

B．若的极差是，则

C．若方差，则

D．若，则第75百分位数是

三、填空题

13．直线的倾斜角为，经过点且与直线垂直的直线方程为.

14．若的展开式中的系数为70，则实数．

15．抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得公里，，，，则M，N两点之间的距离为公里．

??

16．已知点F为双曲线的左焦点，A为直线在第一象限内的点，过原点O作的垂线交于点B，且B恰为线段的中点，若的内切圆半径为，则该双曲线的离心率大小为．

四、解答题

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，目．

(1)求的值；

(2)若，，求的面积；

(3)若，，求中边上的中线长．

18．已知正项数列的前项和为，，且．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

19．如图所示，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，点为棱的中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.

20．如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．

(1)设过点1,0的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；

(2)过的直线与相交于点三点，求证：．

21．2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行．火炬传递首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路—湖滨路—环城西路—北山街—西泠桥—孤山路传递，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与．

(1)组委会从全省火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：

性别

年龄

总计

满50周岁

未满50周岁

男

15

45

60

女

5

35

40

总计

20

80

100

根据小概率值的独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联；

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

(2)在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛．某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当，，求a的取值范围；