《数字信号处理》课件第2章.ppt

第2章离散傅里叶变换

2.1引言

2.2周期序列的离散傅里叶级数（DFS）

2.3离散傅里叶级数（DFS）的性质

2.4有限长序列离散傅里叶变换（DFT）

2.5离散傅里叶变换的性质

2.6频域采样理论

2.1引言

在第1章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数

字计算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数

字信号处理中就显得很重要，当然可以用Z变换和傅里叶变

换来研究它，但是，这两种变换无法直接利用计算机进行

数值计算。针对序列“有限长”这一特点，可以导出一种

更有用的变换：离散傅里叶变换（DiscreteFourier

Transform，简写为DFT）。它本身也是有限长序列。

作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除

了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法快

——

速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核

心作用。

有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离散

傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级

数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几

种可能形式，见图2-1所示。

图2-1各种形式的傅里叶变换

一个非周期实连续时间信号xa(t)的傅里叶变换，即频谱Xa

(jΩ)是一个连续的非周期函数，这一变换对的示意图见图2-1(a)。

该变换关系与第1章“连续时间信号的采样”中所涉及到的非周

期连续时间信号xa(t)的情况相同。

一个周期性连续时间信号xp(t)，其周期为Tp，该信号可展成

傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为~，即的傅里叶变

Xp(k)xp(t)

换或频谱Xp(jkΩ)是由各次谐波分量组成的，并且是非周期离散频

率函数，xp(t)和Xp(jkΩ)的示意图见图2-1(b)。其中，离散频谱相

邻两谱线之间的角频率间隔为Ω=2πF=2π/Tp，k为谱谐波序号。

在第1章里讨论了一个非周期连续时间信号xa(t)经过等间隔

采样的信号（），即离散时间信号序列，其傅里叶

x(nT)——x(n)

变换X(ejω)是以2π为周期的连续函数，振幅特性如图2-1(c)所示。

这里的ω是数字频率，它和模拟角频率Ω的关系为ω=ΩT。若振

幅特性的频率轴用Ω表示，则周期为Ωs=2π/T。

比较图2-1(a)、（b）和(c)可发现有以下规律：如果信号频

域是离散的，表现为周期性的时间函数。相反，在时域上是离

散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函数。不难设

想，一个离散周期序列，它一定具有既是周期又是离散的频谱，

其振幅特性如图2-1(d)所示。

表2-1四种傅里叶变换形式的归纳

时间函数频率函数

连续和非周期非周期和连续

连续和周期非周期和离散

离散和非周期周期和连续

散和周期周期和离散

可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期

延拓，一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表2-1对这

四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。

下面我们先从周期性序列的离散傅里叶级数开始讨论，然

后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变

换。

2.2周期序列的离散傅里叶级数(DFS)

设~x(n)是一个周期为N的周期序列，即

~x(n)~x(nrN)r为任意整数

周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在

任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是



|~x(n)||zn|

n