黑龙江省哈尔滨市2024创新人才自主招生部分试题及中考压轴题解析.pdf

1.在锐角△ABC中H为垂心，O为BC中点，连接OH,过O作PQ⊥HO,交直线AB,AC分别于P,Q，证明S△

BPH=S△QCH

解:根据题目画出图形

根据要证面积相等，做出两个高HI,HJ（由于垂心，所以IHC,BHJ三点共线）

作H关于PC的对称点MiquelpointofcompletequadrangleAPBOQC，连接该点与P,B,Q,C，不难证明两组

如图的四点共圆（证出平行四边形BH’CH,再根据垂心的导角可证出对角互补），于是可以证明下面的这组

相似

在通过PB/CQ的关系导边，可证明原命题成立

2.已知函数=2−2−3，D（-1，-4），P为抛物线一点，MD平行于AP,DN平行于BP，求MN与DP

斜率之比

根据已知条件画图

解：设P（t,(t+1)(t-3)）k[AP]=((t+1)(t-3)/t+1)=t-3,k[MD]=t-3,y[MD]=(t-3)(x-1)-4,联立y[MD]与，

x1=-1，x2=t-2（韦达定理），M（t-2，(t-1)(t-5)）,

k[BP]=t+1=k[DN，]y[DN]=(t+1)(x-1)-4，联立y[DN]=(t+1)(x-1)-4与，x1=-1，x2=x+2（韦达定理）

N（t+2，(t+3)(t-1)）k[MN]=(y[N]-y[M]/x[N]-x[M])=(8(t-1)/4)=2(t-1),同理k[DP]=t-1，

∴(k[MN]/k[DP])=2

3.

是正整数，∈={1,2,⋯,}，有一一映射（双射）:→

|()()||()()||()()|

使得1−2≤2−3≤⋯≤−1−

∑−1|()()|

并且=1−+1=+2

求满足条件的的最大值

∑−1|()()||()()||()()||()()||()

其中=1−+1=1−2+2−3+⋯+−1−=1−

()|=+2

|()()||()()||()()|∑−1|()()|

解：由于1−2≤2−3≤⋯≤−1−，并且=1−+1=

|()()|

+2，则可得−1−≤4由此

1→2

2→3

∑−1|()()|

一方面当=5时，取=3→4，可得=1−+1=+2=5+2=7

4→5

{

5→1

|()()|

另一方面≥6时，设为−+1=个数，则