专题09 函数与方程-2025年高考数学二轮复习考点突破(解析) (1).docxVIP

高中数学精编资源

PAGE2/NUMPAGES2

专题09函数与方程4题型分类

一、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

三、零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

四、二分法

对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

五、用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

（一）

求函数的零点或零点所在区间

求函数零点的方法：

（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型1：求函数的零点或零点所在区间

1-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，函数的零点为.

【答案】

【分析】第一空：利用代入法直接求解即可；第二空，令，分类讨论即可得解.

【详解】因为，

所以，则；

令，则，即，

当时，，解得；

当时，，解得（舍去）；

综上：函数的零点为.

故答案为：；.

1-2．（2024高三·全国·专题练习）函数的零点为．

【答案】4

【分析】根据对数函数的定义及函数零点的定义计算即可.

【详解】依题意有，

所以.

故答案为：4.

1-3．（2007·湖南）函数的图象和函数的图象的交点个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，如下图所示：

由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.

考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．

1-4．（2024·湖北）方程的实数解的个数为.

【答案】2

【详解】因为,作出函数的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，所以方程的实数解的个数为2.

1-5．（2024·北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.

考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.

1-6．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的零点位于区间内，则.

【答案】2

【分析】利用函数单调性和零点存在性定理可知，函数在区间内存在零点即可得出结果.

【详解】由题意可知函数在定义域内单调递增，

易知，

而，所以,

根据零点存在定理可知，函数在区间内存在零点，

所以可得.

故答案为：

1-7．（2024高一上·北京·期中）设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（????）

A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)

【答案】B

【解析】函数y＝x3与y＝的图象的交点的横坐标即为的零点，将问题转化为确定函数的零点所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．

【详解】设，则是增函数，又

.

所以，

所以x0所在的区间是(1，2)

故选：B

【点睛】本题考查函数图象的交点，考查函数的零点，解题的关键是构建函数，正确运用函数零点存在定理，属于中档题.

（二）

利用函数的零点确定参数的取值范围

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.

题型2：利用函数的零点(个数）确定参数的取值范围

2-1．（2024·天津北辰·三模）设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是．

【答案】

【分析】分析函数的零点，由条件列不等式求a的取值范围.

【详解】令，

因为函数有一个零点，函数至多有两个零点，

又有三个零点，

所以必须有两个零点，且其