数学知识导航：三角函数的积化和差与和差化积.docxVIP

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3.3三角函数的积化和差与和差化积

知识梳理

1.积化和差公式

sinαcosβ=［sin（α+β)+sin（α—β）］;

cosαsinβ=［sin（α+β)—sin（α-β)］；

cosαcosβ=［cos（α+β）+cos（α-β)］；

sinαsinβ=-［cos(α+β）-cos（α—β)］.

特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角.

2.和差化积公式

sinx+siny=2sincos;

sinx—siny=2cossin;

cosx+cosy=2coscos；

cosx—cosy=—2sinsin。

3。常用到的三角恒等变换

f（x）=asinx+bcosx=sin（x+θ)（ab≠0),其中tanθ=,由a和b的符号确定θ所在的象限。

知识导学

复习两角和与差的正弦、余弦公式。本节重点是公式的推导与应用，难点是公式的灵活应用.和差化积公式和积化和差公式不要求记忆。

疑难突破

1.如何推导出三角函数的和差化积公式与积化和差公式？

剖析:难点是面对两角和与差的正弦或余弦公式，不知道从何处入手.其突破口是：利用方程的思想推导积化和差公式，利用“换元”思想推导和差化积公式.

(1）积化和差公式的推导

∵sin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，①

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,②

∴①+②，得sin(α+β)+sin(α—β)=2sinαcosβ，

即sinαcosβ=［sin(α+β）+sin(α-β)］。

①-②得sin(α+β)-sin(α—β）=2cosαsinβ，

即cosαsinβ=［sin（α+β）-sin（α-β）].

∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，③

cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，④

∴③+④得cos(α+β)+cos(α—β）=2cosαcosβ.

即cosαcosβ=［cos（α+β）+cos(α—β）]。

③—④得cos(α+β）-cos(α-β）=-2sinαsinβ，

即sinαsinβ=-［cos(α+β）-cos(α-β)］.

(2)和差化积公式的推导

令α+β=θ,α—β=φ，则α=，β=，

代入sinαcosβ=［sin(α+β）+sin（α-β）],

得sincos=［sin(+)+sin（-)］,

∴sincos=（sinθ+sinφ)。

整理得sinθ+sinφ=2sincos。

同理可得sinθ—sinφ=2cossin；

cosθ+cosφ=2coscos；

cosθ—cosφ=—2sinsin。

2.和差化积与积化和差公式有什么作用？

剖析：难点是推导出了公式，但不会应用.其突破方法是分析和理解公式的特点,还要依赖于平时经验的积累。

可从以下几方面来理解这两组公式：

（1）这些公式都是指三角函数值间的关系而言,并不是指角的关系；

(2)只有系数绝对值相同的同名三角函数的和差，才能直接应用公式化为积的形式.如sinα+cosβ就不能直接化积，应先化成同名函数后，再用公式化成积的形式；

（3）三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，则因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式就起什么作用。

积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离,在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.一般情况下，遇有正、余弦函数的平方,要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂,然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算。

和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时,角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化,因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此,“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时,就试着化为和差的形式，往往这样就能发现解决三角函数问题的思路。