数学知识导航第二章离散型随机变量的均值与方差.docxVIP

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§5离散型随机变量的均值与方差

自主整理

1。设随机变量X的可能取值为a1,a2,…，ar,取ai的概率为pi（i=1，2，…，r),即X的分布为

P（X=ai）=pi(i=1,2，…，r)。

则定义X的均值为_________________，即随机变量X的取值ai乘上取值ai的概率P（X=ai）再求和。

X的均值也称作X的数学期望(简称期望），它是一个数,记为_________________，即

EX=_________________.

均值EX刻画的是X取值的“_________________”,均值能够反映随机变量取值的“_________________”，这是随机变量X的一个重要特征.

2.一般地,设X是一个离散型随机变量,我们用_________________来衡量X与EX的平均偏离程度,E（X-EX）2是_________________的期望，并称之为随机变量X的方差，记为_________________。方差越小,则随机变量的取值就越_________________在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越_________________.

高手笔记

1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.

2。EX是一个实数，由X的分布列唯一确定。即作为随机变量X是可变的,可取不同值,而EX是不变的，它描述X取值的平均状态。

3。EX=a1p1+a2p2+…+arpr直接给出了EX的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后再相加.

4.∵E(aX+b）=aEX+b，∴随机变量X的线性函数Y=aX+b的期望等于随机变量X的期望的线性函数。此式可有如下几种特殊形式：

当b=0时,E（aX)=aEX，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积。

当a=1时，E（X+b）=EX+b，此式表明随机变量与常量和的期望,等于随机变量的期望与这个常量的和.

当a=0时，E（b）=b,此式表明常量的期望等于这个常量。

5.DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度,DX越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散；反之DX越小,X的取值越集中在EX附近.统计中常用来描述X的分散程度(称为标准差)。

6。DX与EX一样也是一个实数,由X的分布列唯一确定。

7。要注意:D(aX+b)=a2DX，而易错记为

D（aX+b）=aDX+b;

D（aX+d)=aDX.

名师解惑

1.期望和方差有哪些性质？

剖析：(1)期望的性质:

E(c)=c（c为常数），

E（aX+b）=aEX+b.

(2）方差的性质:

D(c）=0(c为常数），

D(aX+b)=a2DX.

(3)期望与方差的联系：

DX=EX2-(EX）2。

2。几个常用离散型随机变量的期望与方差的求解公式是什么?

剖析：（1）两点分布：设X服从两点分布

X

1

0

P

p

q

则EX=p,DX=pq.

（2）超几何分布：设X服从参数为N，M,n的超几何分布，

即P(X=k）=（k=0,1，2，…，l=min{M,n｝)。

则EX=，DX=（此公式只作为了解,不要求记忆）。

（3)二项分布：设X服从二项分布B(n，p）,即

P（X=k）=Cpkqn-k（k=0,1,2，…，n），

则EX=np,DX=npq。

讲练互动

【例1】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等。而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:

甲保护区:

X1

0

1

2

3

P

0。3

0.3

0.2

0。2

乙保护区：

X2

0

1

2

P

0.1

0.5

0.4

试评价这两个保护区的管理水平。

分析:数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小,但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等),这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化,即计算其方差(或是标准差）。方差大说明随机变量取值分散性大;方差小说明取值分散性小，或者说取值比较集中、稳定。

一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件次数的均值，即数学期望;二是要看发生违规事件的波动情况，即方差值的大小（当然，亦可计算其标准差,同样说明道理)。

解：甲保护区的违规次数X1的数学期望和方差为:

EX1=0×0。3+1×0.3+2×0.2+3×0。2=1.3;

DX1=(0-1.3）2×0.3+(1—1。3）2×0.3+(2-1。3)2×0.2+(3—1。3）2×0.2=1。21.

乙保护区的违规次数X2的数学期望和方差为：

EX2=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3;

DX2=(0—1.3)2×0.1+(1-1.3