专题09 二次函数与几何综合——2024中考数学二轮复习《 中考数学必考题型千题狂练》（全国通用版）（解析版）.docxVIP

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2024中考数学二轮复习全国通用版

《中考数学必考题型特训》

目录（代表当前专题）

序号

名称

序号

名称

专题01

实数的混合运算

专题13

全等三角形

专题02

代数式求值

专题14

相似三角形

专题03

分式

专题15

特殊四边形

专题04

一次方程(组)解法应用

专题16

圆的切线性质判定

专题05

一元二次方程解法应用

专题17

图形变换

专题06

分式方程解法应用

专题18

锐角三角函数应用

专题07

不等式（组）解法应用

专题19

统计与概率

专题08

一次函数与几何综合

专题20

作图问题

专题09

二次函数与几何综合

专题21

折叠问题

专题10

反比例函数与几何综合

专题22

数学材料阅读题

专题11

一次函数实际应用

专题12

二次函数实际应用

熟能生巧，勤能补拙

专题09 二次函数与几何综合

考点内容

考点详情

考题形式

考查概率

二次函数

二次函数的图象和性质；

选择、填空、

解答题

★★★

二次函数与几何图形的综合问题

题型1：二次函数与角度问题

例题1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点．

（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；

（2）找出图中与相等的一个角，并证明；

（3）若点是第二象限内抛物线上的一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标．

【答案】（1），顶点坐标；（2）图中与相等的一个角是，证明见解析；（3）点的坐标是．

【分析】（1）利用待定系数法把和代入中，得，解方程组，得到抛物线配方为顶点式即可；

（2）图中与相等的一个角是，求出抛物线与x轴的交点A，可得，.利用勾股定理求，，，利用勾股定理逆定理可证是直角三角形,，可得，可证即可；

（3）设点的坐标为，过作轴，垂足为，交于，求点坐标为，可求PE=，利用面积公式=.利用抛物线性质可求点的坐标是．

【详解】解：（1）把和代入中，

得，

解得，

抛物线的解析式是：，

顶点坐标；

（2）图中与相等的一个角是，

令，则，，，

.

，

，

在中，，

，，，

，；

，

∴是直角三角形,，

，

又和都是锐角，

，

，

即；

（3）设点的坐标为，

∵一定，当点到直线的距离最大时，的面积最大，

过作轴，垂足为，交于.易求直线的表达式为，

所以点坐标为，

∴PE=，

，

∵，抛物线开口向下，对称轴，

当时，最大，点到直线的距离最大，

∴，

点的坐标是．

题型2：二次函数与线段问题

例题2：（2023·辽宁丹东·一模）如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值．

(3)若点在轴上，且，求点的坐标．

(4)在（2）的条件下，若为轴上一动点，直接写出的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)或

(4)

【分析】（1）将代入求解即可；

（2）根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得的最大值即可；

（3）如图1，连接，交于点T．然后分点E在点B的左侧和右侧两种情况解答即可；

（4）设抛物线的对称轴交x轴于点Q，作点H关于y轴的对称点N，作于点G，交y轴于点F，证明，根据相似三角形的性质可得，则的最小值即的长，证明，最后根据相似三角形的判定和性质求解即可．

【详解】（1）解：把）代入抛物线中得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：．

（2）解：∵，

当时，，解得：或，

∴；

设的解析式为：,

∵，

∴，解得：，

∴的解析式为：，

设设，则，

∴，

当时，有最大值为．

（3）解：如图1，连接，交于点T．

，

∴顶点，

设所在直线的解析式为：，将代入函数解析式得，解得，

故所在直线的解析式为：，

∵，

∴，

设所在直线的解析式为：,

将C点坐标代入函数解析式，得，

故所在直线的解析式为：，

当时，，即点E的坐标为，

当点E在点B的右侧时，

∵，

∴，

∴，

∴是直角三角形，是斜边，

∵，

∴，

∴，

∴T为的中点，

∴经过的中点，

∴直线CT的解析式为，

∴点E′的坐标是．

∴综上所述，点E的坐标是或．

（4）解：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，作点H关于y轴的对称点N，作于点G，交y轴于点F，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∵点H与点N关于y轴对称，

∴，

∴的最小值即的长，

∵，

∴，

∴，

由（2）知时，有最大值为，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的最小值为．

题型3：二次函数与面积问题

例题3：（2023·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交两坐标轴于、两点，二次函数图象经过，，三点且．

(1)求二次函数的解析式．

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点？使得的长度最短若存在，求出