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matlab夏令营数据处理）
主成分分析（principalcomponentAnalysis）又称主分量分析，是由皮尔逊
（pearson）于1901年首先引入，后来由霍特林（hotelling）于1933年进行了发展。主成
分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少数几个主成分
（即综合变量）的多元统计方法，这些主成分能够反映原始变量的大部分信息，通常表示为原始变量的线性组
合，为使得这些主成分所包含的信息互不重叠，要求各主成分之间互不相关。主成分分析在很多领域有着广泛的
应用，一般来说，当研究的问题涉及很多变量，并且变量间相关性明显，即包含的信息有所重叠时，可以考虑用
主成分分析的方法，这样容易抓住事物的主要矛盾，使得问题得到简化。
本章主要内容包括：主成分分析的理论简介，主成分分析的MATLAB实现，主成分分析的主要具体
案例。
11.1主成分分析简介
11.1.1主成分分析的几何意义
X（x,x）11-1所
假设从二元总体二12中抽取容量为n的样本，绘岀样本观测值的散点图，如图
xx
示。从图上可以看岀，散点大致分布在一个椭圆内1与2呈现岀明显的线性相关。这n个样品
xxxx
在1轴方向和2方向具有相似的离散度，离散度可以用1和2包含了近视相等的信息量，
丢掉其中任意一个变量，都会损失比较多的信息。图11-1中坐标按逆时针旋转一个角度71，使
xyxy
得1轴旋转到椭圆的长轴方向1，2轴旋转到椭圆的短轴2，则有
y〔=咅cos^+xsin^
12
-A+A（11.1）
ysinxcos
=-x寸寸
212
yyy
此时可以看到，n个点在新坐标系下的坐标1和2几乎不相关，并且%的方差要比2的方
差大得多，也就是说y1包含了原始数据中大部分的信息，此时丢掉变量y2，信息的损失是比较
yy
小的。这里称1为第一主成分2为第二主成分。
主成分分析的过程其实就是坐标系旋转的过程，新坐标系的各个坐标系的轴的方向是原始数据变差最大的
方向，各主成分表达式就是新旧坐标转换关系式。
11.1.2总体的主成分
1从总体协方差矩阵岀发求解主成分
=（，I
xX,X,…X）x
设p为一个p维总体，假定期望和协方差矩阵均存在并已知，记
E（x）var（x）=
二、1，二，考虑如下线性变换
y=axax…ax=a；x
〔1111221pp
廿a?/+8XaXa；x
222+…+?pm二
I-
.y=3aX+
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