《数字信号处理》课件第8章.ppt

2.合成算法分解算法的逆过程即为合成算法，其计算公式为（8-34）如图7-4所示，图中↑2表示“以零内插”，即样点数增加一倍。图8-4小波合成的Mallat算法示意图8.4常用小波函数8.4.1Haar小波Haar小波是由A.Haar于1990年提出的一种最简单的小波函数，是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑（当|t|充分大时φ(t)≡0）的正交小波函数，如图7-5所示。其表达式为尺度函数0≤x≤1其他由于Haar小波函数不是连续可微的函数，因此应用范围有限，多用于理论研究。图8-5Haar小波函数8.4.2Daubechies小波简称D-小波，记为dbN（N是其阶数，N=1即为Haar小波），它是具有紧支集的规范正交小波。dbN不具有解析式，且不具备对称性，从而不具有线性相位，光滑性也较差。若要增加光滑性，则需增加其阶数，而运算量相应地增加了很多。dbN小波具有N阶消失矩。D-小波常用数表给出h(n)，g(n)由公式g(n)=(-1)N-1h(2N-n+1)n=1,2,…,2N（8-35）表8-1Daubechies小波滤波器系数（低通滤波器）图8-6dbN小波8.4.3Morlet小波Morlet小波没有尺度函数，是非正交分解。常用复值orlet小波的表达式为(8-36)式中，C为常数。为简化运算，常忽略最后一项且取Ω≥5，即Ω≥5(8-37)但这破坏了其收敛性，这在某些情况下有可能引起较大的误差，有学者进行了如下改进：Ω≥0(8-38)Morlet是一种复值小波，能够提取信号中的幅值和相位信息，具有很好的对称性，适于做连续小波变换。图8-7实值Morlet小波函数8.4.4MexicanHat小波墨西哥草帽(MexicanHat)小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形很像墨西哥人的草帽，故由此而得名。其小波函数为(8-39)波形如图8-8所示，其小波形式正比于Gaussian函数的二阶倒数，因此该小波在时域和频域都有较好的局部特性。但是该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的。墨西哥草帽小波主要用于图像边缘提取和对语音信号进行基音分析等。图8-8MexicanHat小波表8-2一组墨西哥草帽小波的h(n)和g(n)值墨西哥草帽小波主要用于图像边缘提取和对语音信号进行基音分析等。其他的小波函数还有可看成是对D-小波进行改进的Symlet小波和Coiflet小波，具有无限可微的Mayer小波和基于样条的双正交小波等，在相应的领域都有特殊的用途。8.5小波变换的应用8.5.1信号奇异点检测信号奇异点主要体现在两个方面：一是时域上表象地出现了数学上定义的第一类或第二类间断点；二是信号自身的性质如频率、相位等发生了变化。奇异点检测的主要任务是确定变化发生的时间、强度及断点类型等。例8-1频率改变信号的奇异点检测。信号如图8-9S栏所示，为一低频信号在500点处突然变化为一较高频信号。我们采用db5小波进行5层分解，1－5层分解系数示为d1－d5，细节信号表示为a5，图8-9d1清楚地表明了信号突变发生的时刻。图8-9频率断点信号的小波检测（小波：db5分解层次：5）例8-2不连续信号的分析。图8-10中表面看上去光滑的二阶多项式曲线存在不连续点，分别采用db1，即Haar小波和db4小波对其进行2层分解，显然，db4小波可以很明确地对不连续点进行定位，而db1小波的检测显然有些失败。这是因为db4小波4阶可导，也即其消失矩为4，对于二阶多项式曲线有良好的信号抑制性能，因此，明确地表示了信号特征。而db1小波只具有1阶消失矩，因而无法对信号本身进行抑制，导致检测失败。在实际工作中，应对信号进行阶次估计，确保所选用的小波有效。图8-10信号趋势估计（小波：db1、db4分解层次：2）8.5.2信号趋势估计信号的趋势是信号中缓慢变化的部分，对应于低频信息。在小波分析中，随着尺度的增大，小波的分辨率在逐渐降低，信号中包括的高频成分越来越少，剩下的即是信号趋势。因此，小波分析能较好地估计信号的趋势，信号趋势对应于最大的尺度值。