《电磁场与电磁波 》课件第5章.ppt

第5章静电场边值问题的解法

5.1边值问题分类

5.2积分法

5.3唯一性定理

5.4分离变量法

5.5镜像法

5.6有限差分法

习题

本章提要

l边值问题分类

l唯一性定理

l分离变量法

l镜像法

l有限差分法

前面我们讨论了基于库仑定律与叠加原理或高斯定

理计算电场的方法，这些方法只能适用于已知电荷分布

十分简单的问题。实际上在电工中经常遇到的是这样一

类问题：给定空间某一区域内的电荷分布(可以是零)，同

时给定该区域边界上的电位或电场(即边值，或称边界条

件)，在这种条件下求解该区域内的电位函数或电场强度

分布。从数学上来讲，这些问题都是在给定的定解条

件——边界条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的定

解问题，称为边值问题。

静电场边值问题的解法分为解析法和数值法两大类。

用解析法得到的场量表达式是准确值，但是它只能解决

规则边界的边值问题。本章主要介绍解析法，包括积分

法、分离变量法、镜像法。数值解属于近似计算，但对

于不规则边界等复杂的静电场问题是非常有用的方法。

随着计算机的广泛使用，数值法已成为边值问题求解的

主要方法。由于篇幅所限，因而本章只简单介绍数值法

中的一种——有限差分法。

5.1边值问题分类

根据给定求解区域边界条件的不同，边值问题分为

以下三类。

第一类边界条件又称狄利赫莱(Dirichlet)条件：场域

边界S上的电位分布已知，即

rfr－

S1b(51)

式中rb为相应边界点的位置矢量。

第二类边界条件又称纽曼条件：场域边界S上电位的

法向导数分布已知，即

r

fr(5－2)

2b

nS

当f2(rb)取零时，称为第二类齐次边界条件。

第三类边界条件又称混合条件：场域边界S上电位及

其法向导数的线性组合已知，即

r(5－3)

rf3rf4rb

n

S

在实际问题中，除了给定边界条件外，有时还需要

引入某些补充的物理约束条件，称为自然边界条件。在

求解边值问题中，自然边界条件非常重要，但它又不是

事先给定的，必须根据问题自行确定，举例如下。

无限远边界条件：对于电荷分布在有限域的无边界

电场问题，在无限远处有(r)|r→∞＝0，即电位在无限远处

趋于零。

介质分界面条件：当场域中存在多种媒质时，还必

须引入不同介质分界面上的边界条件，即用电位表示的



边界条件21和＝，此边界条件

2n2ns12

又称为辅助的边界条件。

5.2积分法

对于一些具有对称结构的静电场问题，电位函数仅

是一个坐标变量的函数。静电场边值问题可归结为常微

分方程的定解问题，这时可以直接积分求解电位函数。

【例5-1】求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度

和电位分布，设电荷体密度为

1

0ra

r

0ra

解设球状电荷分布内、外的电位分别为1和2。显

然，1满足泊松方程，2满足拉普拉斯方程。由于电荷

分布的球对称性，选取球坐标系，因而有

1dd1

221(0ra)

12r

rdrdr00r

1dd