专题19 三角函数的图象和性质-2025年高考数学二轮复习考点突破(解析) (1).docx

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专题19三角函数的图象和性质7题型分类

1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．

(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

R

R

{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}

值域

[－1,1]

[－1,1]

R

周期性

2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调递增区间

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))

[2kπ－π，2kπ]

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))

单调递减区间

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))

[2kπ，2kπ＋π]

对称中心

(kπ，0)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))

对称轴方程

x＝kπ＋eq\f(π,2)

x＝kπ

3．对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq\f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq\f(1,2)个周期．

4．奇偶性

若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．

(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

（一）

五点作图法

（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．

（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．

题型1：五点作图法

1-1．（2024高一下·北京·阶段练习）已知函数

(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像；

(2)求，的单调递增区间；

(3)当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)递增区间为

(3)．

【分析】（1）由，计算出的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数在上的图象；

（2）解不等式可得函数的单调递增区间；

（3）利用（1）中的图象结合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）因为，当时，，

列表如下：

0

1

1

2

0

0

1

作图如下：

（2）因为，令，解得，

令，解得，

所以的递增区间为

（3），，

又，由（1）的图象可知，，的取值范围是．

1-2．（2024高一下·湖北·期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．

(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；

(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．

??

【答案】(1)答案见解析

(2)作图见解析

【分析】（1）根据三角函数图象变换求解即可；

（2）利用“五点法”画出图象.

【详解】（1）步骤1：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；

步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．

或者步骤1：步骤1：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

步骤2：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；

步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）