《电磁场与电磁波 》课件003.pptVIP

第3章边值问题的解法

3.1边值问题的提法

3.2唯一性定理

3.3镜像法

3.4分离变量法

3.5有限差分法

习题

3.1边值问题的提法

所谓边值问题，就是在给定边界条件下如何求解电场或电

位函数所满足的方程。就边界条件而言，不同的问题有不同的

给定方式，通常可以分为三类；而要求解的方程对于静电场或

恒定电场问题通常是电位函数满足的方程。因此下面首先来讨

论边界条件的分类和电位函数应满足的方程。

3.1.1边值问题的分类

实际问题总是有边界的。所有的边值问题可以归结为以下

三类：

(1)已知场域边界面S上各点电位的值，即给定

f(S)

S1(3-1-1)

称为第一类边界条件或狄利克利条件。这类问题称为第一类边值

问题。

(2)已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即给定



Sf(S)

n2(3-1-2)

称为第二类边界条件或诺伊曼条件。这类问题称为第二类边值

问题。

(3)已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组

合值，即给定



()Sf3(S)(3-1-3)

n

称为第三类边界条件或混合边界条件。这类问题称为第三类边

值问题。

如果边界面S是导体，则上述三类问题分别变为：已知各

导体表面的电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体电位

和另一部分导体的电荷量。

如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界

条件。对于电荷分布在有限区域的情况，则在无限远处电位为

有限值，即

limr有限值(3-1-4)

r

式(3-1-4)称为自然边界条件。

必须指出，如果给定边界上的电位，则该给定边界上的法

向导数也就确定。因为在任意边界上，它的电位和它上面的电

荷密度是相互制约的，若给定了边界上的电位后，电位的法向

导数就不能再任意给定了，反之亦然。

3.1.2泊松方程和拉普拉斯方程

在线性、各向同性、均匀的电介质中，将式(2-1-16)代入式

(2-2-9)，得

V

2－(3-1-5)



式(3-1-5)称为静电场的泊松方程(Poisson’sEquation)，它表示求

解区域的电位分布取决于当地的电荷分布。

对于那些电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的

区域内多数点的体电荷密度等于零，即ρV=0，因而有

20(3-1-6)

式(3-1-6)称为拉普拉斯方程(Laplace’sEquation)。

3.2唯一性定理

如前所述，所有的边值问题都可以归结为在给定的边界条

件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的问题。

在静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯

方程的解必定是唯一的，这称为静电场的唯一性定理

(UniquenessTheorem)。

下面用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程

的解是唯一的。

考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第一定理：



(2)dVdS(3-2-1)

VSn

令上式中ψ=φ=，得