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学必求其心得，业必贵于专精

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2.1向量的线性运算

知识梳理

1.向量的概念与表示

（1)向量：具有大小和方向的量称为向量.看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向这两个要素.

(2)向量的模:向量的长度叫做向量的模,向量a的模记作｜a｜.

（3）特殊的向量

零向量：模是零的向量叫做零向量，记作0,其方向不确定，它可以朝向任意方向。

单位向量：给定一个非零向量a，则与a同方向且长度为1的向量，叫做向量a的单位向量。

（4）向量的表示方法

几何表示：用有向线段来表示。此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模。

字母表示：用单个斜黑体的小写英文字母表示，通常印刷体如a、b、c、…，而手写体用带箭头的小写字母表示如、、、…,此时应特别注意；字母上必须加箭头；还可用两个大写英文字母表示，先写始点，后写终点，字母上面要带箭头.例如:始点为A，终点为B的向量表示为。

2。向量间关系

(1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，即相等的向量.

(2)相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作—a.

（3)共线(平行)向量：通过有向线段的直线，叫做向量的基线。如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.

3。向量的加法

（1)向量加法法则

①三角形法则:根据加法的定义求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.其具体做法是将向量b平移，使其起点与另一向量a的终点重合，则以a的起点为起点,b的终点为终点的向量就是向量a与b的和向量。

②平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b（如图2—1-1)，作=a，=b，则A、B、D三点不共线,以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。

图2-1

③多边形法则:已知ｎ个向量，依次把这ｎ个向量首尾相接，以第一个向量的起点为起点,第ｎ个向量的终点为终点的向量叫做这ｎ个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则。多边形法则实质就是三角形法则的连续应用。

（2）向量加法的几何意义

向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.

（3）向量加法的运算律

①交换律:a+b=b+a；②结合律:(a+b)+c=a+（b+c).

4。向量的减法

（1）向量的减法是向量加法的逆运算，求两个向量的差要把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。

(2）利用相反向量的定义：一个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量。

(3)向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图，二是利用相反向量作图。

5。向量的数乘

（1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，规定：λa的长度|λa｜=｜λ｜·｜a｜.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时,λa的方向与a的方向相反.当λ=0或a=0时,λa=0。

（2）向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小。

(3）向量数乘的运算律

设λ、μ为实数，则①(λ+μ)a=λa+μa；②λ(μa)=（λμ)a；③λ（a+b）=λa+λb.

6.向量的线性运算

(1）向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示.

(2）向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加法、减法、乘法满足的运算法则,但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用。

7。平行向量基本定理

定理：如果a=λb,则a∥b；反之，如果a∥b(b≠0)，则一定存在一个实数λ，使得a=λb。

8.轴上向量的坐标及坐标运算

(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.轴没有规定原点，与我们以前学过的数轴不同。在轴上选一定点O作为原点,轴就成了数轴。取单位向量e，使e的方向与轴l的方向相同，对轴上的任意向量a，一定存在唯一实数x，使a=xe；反之，任意给定一个实数x，总能在轴l上作一个向量a=xe，x叫做a在轴l上的坐标(或数量)，向量e叫做轴l的基向量。

（2)x的绝对值等于a的长；当a与e同向时，x是正数；当a与e反向时，x是负数.实数与轴上的向量建立了一一对应关系.

(3）向量相等:设a=x1e,b=x2e,当x1=x2时,a=b。即轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等。

（4）两个向量的和：设a=x1e，b=x2e，则a+b=(x1+x2）e