喀兴林高等量子力学习题EX12-18.doc

练习12.1.一维谐振子受微扰的问题，使有严格解的，试仿照正文中的方法，在薛定谔绘景中用近似的方法讨论这一问题，并将结果与严格解比较。

（解答人：李泽超核对人：熊凯）

解：由题意得：

受微扰的一维谐振子的哈密顿量是：

谐振子从时刻起其状态满足薛定谔方程：

的含时本征矢量的展开为：

微扰的矩阵元为，具体的形式为：

利用算符对本征矢量函数的；上升和下降的性质，得：

采用微扰方法近似解薛定谔方程时，薛定谔方程可一化为下式：

将（6）式带入（7）式可得到在题意条件下的微扰方程的表达形式如下：

经化简得：

将的已知的低级的近似代入方程的右边，即可以解出高一级的近似。假设初态是，则可以将零级近似代入方程的右边，得到关于一级近似的方程如下式：

当取不同的值时，上述的方程有不同的形式，就的不同的取值对（10）式进行讨论如下：

在初态的条件下，解方程组（11），所得的结果如下：

当微扰项式时，一级近似的形式如下;

由（9）式和（13）式可以计算出微扰的二阶近似：

令取不同的值，确定方程组，得到下列方程组：

方程组（14）在初始条件下的解为：

利用微扰解的结果如上。

下面对本题严格求解:

由题意得：

系统的哈密顿量形式如下：

令：。

则：

以上可以等价为无微扰的情况下的薛定谔方程，其解为：

本征能量取值为：

取

的态函数为：

其中为n阶厄米多项式。

因为是个小量，所以上式中的三个相乘的因式都可一展开为罗朗级数，三个级数求和式相乘得到的多项式的低阶项（一阶和二阶项）和上面用微扰近似得到的结果及其的相近，没有太大的差别，差别可能出现在三阶或式四阶项上，可见两种方法的到的结果都是有价值的。

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练习12.2有一系统，处于的一个本征态，若由小而大，缓慢的加上一个微扰，证明此态也缓慢的变化，一直保持为当时的总哈密顿的本征态。证明时取，为一小的正数，在一级近似下用（11.42）式求

（做题人：董廷旭校对人：刘强）

证明:在相互作用绘景中，用演化算符来计算，这时有

(1)

由于是微扰项，取(2)

把(2)式代入（1）式得

由上式可知此态缓慢变化，一直保持为当时总哈密顿的本征态。

第二问：

12.3：计算(12.27),(12.28),(12.29).(选择的是12.28中的第一式)

（做题人：刘强校正:董亭序）

解：

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练习14.1对于一个纯态的密度算符，证明：

（1）；

（2）在的本征值中，必有一个且仅有一个等于1；

（3）。

解：（1）设归一化的纯态为，由

所以，

（2）由

得

即

所以，即在的本征值中，必有一个且仅有一个等于1。

(3)由上题知，的本征态为

则

它是一个对角阵，而且对角元中只有一个元素不为0（）

易得

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14.2从一个描写纯态的密度算符，能否求出：（何贤文）

（1）任意物理量在此态中取各值的概率？

（2）此物理量取各值的概率幅？

（3）描写这个态的态矢量？

解：描写纯态的密度算符，其中是归一化的态矢量。

（1）任意物理量A在态中取值的概率：

（2）设物理量A的本征矢量为，相应的本征值是，态矢量是由有限个态叠加得到的，即

物理量A在状态中取各值的概率幅为

（3）处于纯态时，系统的密度算符是

将上式中的作用于态矢，有

即是

在上式中，1是算符的一个本征值。

：在坐标表象中，密度算符的矩阵元可以表示为

即有

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14.3一个纯态，由态矢量描写转为密度算符描写后，是丢失了一些信息呢还是一点信息也没有丢失？

（完成人：肖钰斐审核人：谷巍）

解：一个纯态，由态矢量描写转为密度算符描写后，是一点信息也没有丢失。

密度算符

一个物理量A在态中的平均值可以写成

(1)

物理量A在态中取值的概率

(2)

由（1）和（2）两式可知，密度算符可以完全替代态矢量来描写纯态，密度算符包含了态矢量的一切信息。

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14.4对于（14.27）式类型的密度算符[满足（14.28）式的条件]，证明（14.2