精品解析：广东东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学六校2024-2025学年高三上学期十二月联考数学试卷（原卷版）.docx

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2025届高三·十二月·六校联考

数学科试题

命题人：广州市第二中学

（满分150分.考试时间120分钟.）

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.命题：“”的否定是（）

A B.

C. D.

3.已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（）

A. B.

C. D.

4.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（）

A B.

C. D.

5.已知，且，则的最小值为（）

A.4 B. C.6 D.8

6.将曲线（为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（）

A. B. C. D.

7.如图，在已知正方体.中，是棱上点，且平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）

A. B.

C. D.

8.已知函数，若有两个零点，则的值为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（）

A.

B.

C.若，则

D.若，则

10.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（）

A.当，最大

B.使得成立的最小自然数

C.

D.中最小项为

11.如图，在直三棱柱中，，Q是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（）

A.三棱锥的体积为定值

B.直线与所成角正切值的最小值是

C.在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球

D.的最小值为

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量，若与垂直，则等于________.

13.已知数列的前项和为，，则数列的前项和_____________.

14.若存在（互不相等），满足，则的取值范围为____________.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在中，角对应的三边分别是，且

（1）求角的值;

（2）若，求的面积.

16.已知椭圆中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程和离心率；

（2）已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围.

17.如图所示，已知四棱锥中，，.

（1）求证:平面；

（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.

18.已知函数.

（1）若，求函数的极值；

（2）讨论的单调性；

（3）若是的两个极值点，证明：.

19.给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，，例如数列：，则.

（1）若，求和；

（2）求证:；

（3）求的最值.