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(完整word)证明圆的切线方法

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(完整word)证明圆的切线方法

证明圆的切线方法

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题,就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有:

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

证明：连结OE，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC。

又∵AB=BC，

⌒⌒∴∠3=∠4.

⌒

⌒

∴BD=DE，∠1=∠2.

又∵OB=OE，OF=OF,

∴△BOF≌△EOF（SAS)。

∴∠OBF=∠OEF。

∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF.

∴∠OEF=900。

∴EF与⊙O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切。

证明一：作直径AE，连结EC。

∵AD是∠BAC的平分线,

∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，

∴∠1=∠B。

又∵∠B=∠E，

∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900。

∴∠1+∠EAC=900。

即OA⊥PA。

∴PA与⊙O相切.

证明二：延长AD交⊙O于E,连结OA，OE.

⌒⌒∵AD是∠BAC的平分线,

⌒

⌒

∴BE=CE，

∴OE⊥BC。

∴∠E+∠BDE=900。

∵OA=OE,

∴∠E=∠1。

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA。

又∵∠PDA=∠BDE，

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用。

例3如图，AB=AC,AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

证明一：连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵OB=OD，

∴∠1=∠B。

∴∠1=∠C。

∴OD∥AC.

D∵DM⊥AC，

D

∴DM⊥OD。

∴DM与⊙O相切

证明二：连结OD,AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC。

又∵AB=AC，

C∴∠1=∠2.

C

∵DM⊥AC,

∴∠2+∠4=900

∵OA=OD,

∴∠1=∠3.

∴∠3+∠4=900。

即OD⊥DM.

∴DM是⊙O的切线

说明：证明一是通过证平行来证明垂直的。证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.

例4如图,已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上。

求证：DC是⊙O的切线

证明：连结OC、BC.

∵OA=OC,

∴∠A=∠1=∠300.

∴∠BOC=∠A+∠1=600。

又∵OC=OB，

∴△OBC是等边三角形。

D ∴OB=BC。

D

∵OB=BD，

∴OB=BC=BD.

∴OC⊥CD.

∴DC是⊙O的切线。

说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好。

例5如图，AB是⊙O的直径,CD⊥AB，且OA2=OD·OP.

求证：PC是⊙O的切线。

证明:连结OC

∵OA2=OD·OP，OA=OC,

∴OC2=OD·OP，

。

又∵∠1=∠1，

∴△OCP∽△ODC.

∴∠OCP=∠ODC.

∵CD⊥AB,

∴∠OCP