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{教育管理}初中数学竞赛辅导讲义解三角形

初中数学竞赛辅导资料（60）

解三角形

甲内容提要

1.由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2.解直角三角形所根据的定理(在Rt△ABC中，∠C=Rt∠).

①边与边的关系：勾股定理－－－－――c2=a2+b2.

②角与角的关系：两个锐角互余----∠A+∠B=Rt∠

③边与角的关系：（锐角三角函数定义）

SinA=，CosA=,tanA=,CotA=.

④互余的两个角的三角函数的关系：

Sin(90－A)=CosA，Cos(90－A)=SinA，tan(90－A)=CotA,Cot(90－A)=tanA.

⑤特殊角的三角函数值：

角A的度数

0

30

45

60

90

SinA的值

0

1

CosA的值

1

0

tanA的值

0

1

不存在

CotA的值

不存在

1

0

锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.

3.解斜三角形所根据的定理(在△ABC中)

①正弦定理：=2R.(R是△ABC外接圆半径).

②余弦定理：c2=a2+b2－2abCosC；b2=c2+a2－2caCosB；a2=c2+b2－2cbCosA.

③互补的两个角的三角函数的关系：

Sin(180－A)=sinA，Cos(180－A)=－cosA，

tan(180－A)=－cotA，cotA(180－A)=－tanA.

④S△ABC＝absinC=bcsinA=casinB.

4.与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等.

乙例题

例1.已知：四边形ABCD中，∠A＝60，CB⊥AB，CD⊥AD，CB＝2，CD＝1.求：AC的长.

ED1y2解：延长AD和BC相交于E，则∠E＝30.在Rt△ECD

E

D

1

y

2

∴CE==1÷=2.EB＝4.

在Rt△EAB中，∵tanE=,

∴AB=EBtan30。=.

C根据勾股定理AC＝＝.

C

又解：连结BD，设AB为x，AD为y.

根据勾股定理AC2

根据勾股定理AC2＝x2+22=y2+12.oo

60A

B根据余弦定理BD2＝x2+y2－2xyCos60=22＋12－2×2×1Cos120x得方程组

B

解这个方程组，得x=.(以下同上一解)

例2.已知：如图，要测量山AB的高，在和B同一直线上的C，D处,分别测得对A的仰角的度数为n和m，CD=a.试写出表示AB的算式.

解：设AB为x，BD为y.在Rt△ABD和Rt△ABC中，

xCotm=xCotn－a.∴x=.

答：山高AB＝.

例3.已知：四边形ABCD中，∠ABC＝135，∠BCD＝120，CD＝6，AB=,BC＝5－.

求：AD的长.（1991年全国初中数学联赛题）

解：作AE∥BC交CD于E，BF⊥AE于F，CG⊥AE于G..

在Rt△ABF中，

BF＝Sin45=,AF＝BF＝.在Rt△CGE中，

GE＝CGtan30=×=1,

∴CE＝2，ED＝4.

∴AE=+5－+1=6，∠AED＝120.

6

A

5￡--3

B

。135

F

C

120

oE

G

6

D

在△AED中，根据余弦定理，得AD2＝62＋42－2×6×4Cos120=76.∴AD＝2.

例4.如图，要测量河对岸C，D两个目标之间的距离，在A，B两个测站，测得平面角∠CAB=30，∠CAD＝45，∠DBC＝75，∠DBA＝45，AB＝.

试求C，D的距离.

解：在△ABC中，

D∵∠ACB=∠CAB＝30，

D

C∴BC＝AB＝,

C

oóá÷∴AC＝2cos30=3.

oóá÷

??

在△ABD中，∠ADB＝60正弦定理，=,

45

75

45

30

AB/3AD=×sin45=÷×=.

A

B

/3

在△ACD中，由余弦定理，得

CD2＝32＋（）2－