数学-知识导航复数的四则运算.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

3。2复数的四则运算

知识梳理

1。两个复数相加（减）就是把______________________________________________________，即a+bi±(c+di)=______________________.

2。复数z=a+bi（a、b∈R)的共轭复数记作，即=____________。

3。一般地，如果n∈N*，我们有（1)i4n=_________1，i4n+1=_____________，i4n+2=____________-1,i4n+3=____________。

(2)设w=,则1+w+w2=___________.

知识导学

要学好本节内容，除熟记一些常用结果〔in的周期性、w的性质及wn+wn+1+wn+2=0（n∈N）(w为1的虚数立方根）〕,还要在求解计算时,充分利用i、w的性质,或适当变形，创造条件,从而转化为关于i、w的计算问题。在复数问题中，整体观点是常用的解题技巧，要注意学会这种解题技巧.

疑难突破

本节的难点是如何将复数的除法进行简便运算，学习本节内容，能培养怎样的数学思想.

剖析：在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算将十分麻烦，我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简。

学习本节内容主要培养转化、数形结合的数学思想。

典题精讲

【例1】计算（6+6i）+（3-i）-（5—3i)。

思路分析：利用复数加、减法法则进行计算。

解：（6+6i)+(3—i）—（5-3i)=(6+3—5)+(6-1+3)i=4+8i。

绿色通道:复数的加、减法运算，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减,实部与实部相加减作实部、虚部与虚部相加减作虚部.

变式训练：已知z1=2+i，z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于(）

A。第一象限B.第二象限C。第三象限D.第四象限

答案：B

【例2】已知x、y∈R,且,求x、y的值.

思路分析：复数通分太麻烦，可将每个分母的复数化为实数，再进行运算。

解：可写成

，

5x（1-i）+2y(1-2i）=5—15i,

(5x+2y）—（5x+4y）i=5—15i,

∴

绿色通道：本题为复数的除法运算，将每个分式的分母同乘以分母的共轭复数,再由复数相等的定义，转化为实数方程组.

变式训练:求的值.

解:原式=。

【例3】计算。

思路分析:利用i的幂的周期性，（1±i）2=±2i便可简便地求出结果。

解：原式=i501×4+2+（4i)4—(）25=—1+256—i=255-i.

绿色通道:注意复数计算中常用的整体。

①i的性质:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=—1,i4n+3=-i(n∈N*)；

②(1±i）2=±2i，;

③设w=,则w3=1,w2+w+1=0，w2=w,=1.

变式训练：计算。

解：原式==i.

问题探究

问题：在复数范围内是否对任意的一元二次方程都有根呢？

导思：这里需要分成实系数的一元二次方程与复系数的两种类型考虑。

探究:（1)对于实系数的我们可以用求根公式直接求出;

（2)对于复系数的需要设出根，代入方程，然后解方程组求得。